连通图

文章目录 连通分量 强连通图 总结 总结 前面讲过，图中从一个顶点到达另一顶点，若存在至少一条路径，则称这两个顶点是连通着的。例如图 1 中，虽然 V1 和 V3 没有直接关联，但从 V1 到 V3 存在两条路径，分别是 V1-V2-V3 和 V1-V4-V3，因此称 V1 和 V3 之间是连通的。 图 1 顶点之间的连通状态示意图 无向图中，如果任意两个顶点之间都能够连通，则称此无向图为连通图。例如，图 2 中的无向图就是一个连通图，因为此图中任意两顶点之间都是连通的。 图 2 连通图示意图 连通分量 若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为连通分量。 前面讲过，由图中部分顶点和边构成的图为该图的一个子图，但这里的子图指的是图中"最大"的连通子图（也称"极大连通子图"）。 如图 3 所示，虽然图 3a) 中的无向图不是连通图，但可以将其分解为 3 个"最大子图"（图 3b)），它们都满足连通图的性质，因此都是连通分量。 图 3 连通分量示意图 提示，图 3a) 中的无向图只能分解为 3 部分各自连通的"最大子图"。 需要注意的是，连通分量的提出是以"整个无向图不是连通图"为前提的，因为如果无向图是连通图，则其无法分解出多个最大连通子图，因为图中所有的顶点之间都是连通的。 强连通图 有向图中，若任意两个顶点 Vi 和 Vj，满足从 Vi 到 Vj 以及从

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 1.首先举个实例来说明连通性，看下图： 图G1 上图为非连通图，对上图的连接表进行深度优先搜索遍历，3次调用DFS过程，分别从顶点A，D,G出发，得到的顶点访问序列为： A L M J B F C D E G I K H 上面的3个顶点集和所有依附于这些顶点的边，便构成了非连通图的3个连通分量。 2.设E(G)为连通图G中所有边的集合，则从图中任一顶点出发遍历图时，必定将E(G)分成两个集合T(G)和B(G),其中T(G)是遍历图过程中历经的边的集合；B(G)是剩余边的集合。显然T(G)和图中所有的顶点一起构成连通图G的极小连通子图，又成为连通图的一颗生成树，并且称由深度优先搜索得到的为深度优先生成树；由广度优先搜索得到的为广度优先生成树。 对于非连通图，每个连通分量中的顶点集，和遍历走过的边一起构成若干颗生成树，这些连通分量的生成树组成非连通图的生成树林。 上图G1的深度优先生成树林为： 3.深度优先生成森林的算法 来源： oschina 链接： https://my.oschina.net/u/2263272/blog/1610088

10.4图的连通性(Connectivity) 如果存在一条路径，使得从u到v，那么顶点u和v就是连通的 如果能存在一条路径从u到u，那么这样的路径称为自环(circuit) 路径可以视作穿过点(through the vertices)，也可视为遍历边(traverses the edges) 如果这条路径穿过的边都是一次的(无重复穿过同一条边)，那么我们称其为简单路径 图连通 针对于无向图而言，如果任意两个顶点都能够连通，那么称这个图为连通图 定理: 无向连通图的每对顶点都存在简单路径(simple path) 无向图G的连通分量是指G的最大连通子图 割点(cut vertex)或割边(cut edge)能将连通图分为两部分 点连通(Vertex Connectivity) 不可分割图(Nonseparable graphs) 无割点的图称为不可分割图 点割集 去掉点割集V‘后，使得连通图G变为G-V’不再连通 点连通性(Vertex connectivity) 非完全图G的点连通性，指的是存在的点割集的顶点最小数；记为𝜅(G);通俗的说，就是最少去掉多少个点使得G不再是连通图 边连通(Edge Connectivity) 边割集 去掉边割集E‘后，使得连通图G变为G-E’不再连通 边连通性(Edge connectivity) 非完全图G的边连通性

最小生成树 背景 ：假设要在n个城市之间建立通信网络，则连通n个城市只需要n-1条线路。这时。自然会考虑一个问题，如何在最节省经费的条件下建造这个通信网。在每两个城市之间都可以建立一条线路，相应的都要付出一定的经济代价。n个城市之间，最多可以设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的消耗经费最小呢？ 可以用连通网表示n个城市，以及n个城市之中可能设置的线路，其中网的顶点表示城市，边表示城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n各顶点连通网可以建立许多不同的生成树，每一刻生成树都可以是一个通信网。最好的通信网应该是代价之和最小的生成树。在一个连通网的所有生成树中，各边的代价之和最小的那颗树成为该连通网的 最小代价生成树 ，简称为 最小生成树 。 MST性质 ：建设N=(V,E)是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若（u,v）是一条具有最小生权值（代价）的边，其中u∈U,v∈V-U,则比存在一颗包含边（u,v）的最小生成树。 普里姆(Prim)算法和克鲁斯卡尔(Kruskal)算法是两个利用MST性质构造最小生成树的算法。 普里姆算法： （1）普里姆算法的构造过程： 假设N=(V,E)是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。 U={u0}(u0∈V),TE={}。 在所有的u∈U，v∈V-U的边（u,v）∈E中找一条权值最小的边（u0

北航软件工程专业考研991数据结构总结： 六、图 1．图的基本概念、名词术语； 2．图的邻接矩阵存储方法和邻接表(含逆邻接表)存储方法的构造原理及特点； 3．图的深度优先搜索与广度优先搜索； 4．最小(代价)生成树、最短路径、AOV网与拓扑排序的基本概念。 1．图的基本概念、名词术语； 基本概念： 定义：图是非空有穷顶点的集合 + 顶点之间的关系 构成 G(V,E)，V是顶点的集合，E是边或弧的集合 分类： 无向图：(vi, vj)属于E，必有(vj,vi)属于E，顶点的前后顺序无关 有向图：<vi, vj>不同于<vj, vi> 网络：与边有关的数据称为权，边上带权的图叫做网络 名词术语： 顶点的度：依附于顶点vi的边数称为度 TD(vi) 有向图： 入度：以顶点vi作为终止点的边数称为入度ID(vi) 出度：以顶点vi作为起始点的边数称为出度OD(vi) 结论： ①、边数E = 各个顶点的度的总和/2 ②、具有n个顶点的无向图最多有 n(n-1)/2 条边 每个顶点可以向其他n-1个顶点发出一条边，n个顶点总边数 n(n-1)，根据相互性，除以2 ③、具有n个顶点的有向图最多有 n(n-1) 条边 完全图：边数达到最大 稠密图：边数达到或者接近最大边数的图 稀疏图：否则。。。 路径：顶点vx到vy之间有路径P(vx, vy)的充分必要条件为：存在顶点序列 vx, vi1,

图 简述 图的定义 握手定理 图的连通性 定理 割点和桥 连通度 点连通度 边连通度 图的矩阵表示 邻接矩阵 联通矩阵 关联矩阵 欧拉图 哈密尔顿图 简述 离散数学的复习原本的目的仅作为笔者自己使用，里面包含了离散数学一些常用概念和定理 定理的证明并没有详细列出，笔者做了一个简单的整合 教材参考的是杭州电子科技大学的方景龙老师做的教材。用者自取。 图的定义 图是指序偶 < V , E > <V,E> < V , E > : 名词 概念 V 为点的集合 E 则是边的集合 阶 图中点的个数 平凡图 只有一个点，也就是只有一个点。 零图 不包含边的成为零 圈/环 一边两头连接同一个点 平行边 两个顶点相同的边 重数 平行边的条数 简单图 没有平行边 完全图 每个点都与其他所有点关联 若 e = ( u , v ) e=(u,v) e = ( u , v ) ,则称点u和点v邻接 若 e = ( u , v ) e=(u,v) e = ( u , v ) ,则称点 u,v 与边e 关联 边和边若有公共顶点，两边邻接 每个点关联的边的条数成为点的度 记为 d ( v ) d(v) d ( v ) 一个圈度数为2 最小度数 δ ( G ) \delta(G) δ ( G ) 最大度数 Δ ( G ) \Delta(G) Δ ( G ) 对于p阶简单图有 Δ ( G ) < = p − 1

一、前言 从今天开始就给大家分享有关于图的概念和代码啦，不知道大家有没有看够树的相关内容呢？以后还会慢慢给大家再分享的，代码要一遍一遍过，一轮一轮学习。第一轮树就先到这里，等第二轮还会给大家分享的。 图应该是数据结构中处于霸王地位的一部分了，图会涉及到图论的相关知识，咱们现在还涉及不到，等到以后分享数学基础，讲离散数学的时候，会给大家分享有关图论的内容。 为什么称图是霸王地位呢？因为图应该是数据结构中最难的： 1.图状结构是我们研究的结构里面最复杂的结构 我们在讲解数据的逻辑结构时给大家讲到数据结构有如下四个：集合，线性结构，树形结构，图状结构或网状结构。集合只有同属于一个集合；线性结构存在一对一的关系；树形结构存在一对多的关系；图状结构存在多对多的关系。 2.图的相关关系非常复杂，相关概念非常多 图有有向图，有无向图；有简单图，有多重图；有连通图，非连通图等等等等。如果把图画出来，我们人去看一个图比较简单，我们会有各种各样去分析这个图的方法，计算机不同，他们没有人这么强大的大脑，很多对于图的分析很死板，需要我们把图分析好了再做处理（如果人工智能发展比较好的话，这个问题可能会解决）。 但是图又很重要，不管是地图，人物关系等，把每个人或者每个地方看作一个点，其他的点都会与之有上千万的联系。所有就都有及其复杂的网络，不管是路径规划，导航提醒还是警察在断案，其实本质上都是图的应用。 所以

•图的连通度 点连通度的定义： 一个具有$N$个点的图$G$中，在去掉任意$k-1$个顶点后$(1<=k<=N)$,所得的子图仍然连通， 去掉$K$个顶点后不连通，则称$G$是$K$连通图，$K$称作图$G$的连通度，记作$K(G)$。 边连通度的定义： 一个具有$N$条边的图$G$中，在去掉任意$k-1$条边后$(1<=k<=N)$,所得的子图仍然连通， 去掉$K$条边后不连通，则称$G$是$K$连通图，$K$称作图$G$的连通度，记作$K(G)$。 •连通度与最小割 既然图的点连通度是去掉任意$k-1$个点连通，去掉$k$个点不连通，那么就是去掉最小的$k$个而致不连通， 也就是这$k$个点是此图的最小割点集。边连通度同理为最小割。 •连通度计算 指定源点和汇点 指定源点和汇点也就是指定求某一个具体点s到另一个具体点t的连通度 1、边连通度(最小割) 　　•有向图： 以s为源点，t为汇点建立网络，原图中的每条边在网络中仍存在，容量为1。求该网络的最小割（也就是最大流）的值即为原图的边连通度。 •无向图： 将图中的每条边(i, j)拆成<i, j>和<j, i>两条边，再按照有向图的方法处理； 2、点连通度(最小割点集) •有向图： 需要拆点。建立一个网络，原图中的每个点$i$在网络中拆成$i'$与$i''$表示入点和出点，有一条边$<i', i''>$，容量为1 （$<s',

[点连通度与边连通度] 在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边之后，原图变成多个联通块，就称这个点集为割点集合。 一个图的点连通度定义为，最小个点集合中的顶点数。 类似的，如果有一个边集合，删除这个编辑和以后，原图变成多个连通块，就成这个边集为割边集合。 一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。 [双连通图、割点与桥] 如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的（point biconnected），简称双连通或重连通。一个图有割点，当且仅当这个图点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点（cut point），又叫关节点（articulation point）. 如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的（point biconnected），简称双连通或重连通。一个图有桥，当且仅当这个图边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥（bridge），又叫关节边（articulation edge）. 可以看到，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们有着某种联系。 [双连通分支] 在图G的所有子图G'中，如果G'是双连通的，则称G'为双连通子图。如果一个双连通子图G'它不是任何一个双连通子图的真子集，则G'为极大连通子图。双连通分支(biconnected component)，或重连通分支

先来%一下Robert Tarjan前辈 %%%%%%%%%%%%%%%%%% 然后是热情感谢下列并不止这些大佬的博客： 图连通性（一）：Tarjan算法求解有向图强连通分量 图连通性（二）：Tarjan算法求解割点/桥/双连通分量/LCA 初探tarjan算法（求强连通分量） 关于Tarjan算法求点双连通分量 图的割点、桥与双连通分支 感谢有各位大佬的博客帮助我理解和学习，接下来就是进入正题。 关于tarjan，之前我写过一个是求lca的随笔，而找lca只是它一个小小的功能，它还有很多其他功能，具体是什么，我就根据自己的学习进程，一步步来自我回忆一下。 第一个是有向图求强连通分量。 让我们来引进百度 有向图强连通分量:在 有向图 G中，如果两个顶点vi,vj间(vi>vj)有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点 强连通 (strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个 强连通图 。有向图的极大强连通子图，称为强连通 分量 (strongly connected components)。 通俗解释，强连通就是有向图中，任意两个顶点彼此有一条路可以可以走到，而强连通分量就是它的强连通子图，极大强连通分量就是它最大的那个强连通子图。 而详细步骤的话，上面的博客已经讲得很清楚了，我就简单的阐述一下步骤。