离散复习---图（一）

图

• 简述
• 图的定义
• 握手定理
• 图的连通性
• 定理
• 割点和桥
• 连通度
• 点连通度
• 边连通度
• 图的矩阵表示
• 邻接矩阵
• 联通矩阵
• 关联矩阵
• 欧拉图
• 哈密尔顿图

简述

离散数学的复习原本的目的仅作为笔者自己使用，里面包含了离散数学一些常用概念和定理
定理的证明并没有详细列出，笔者做了一个简单的整合
教材参考的是杭州电子科技大学的方景龙老师做的教材。用者自取。

图的定义

图是指序偶$<V,E>$:

名词	概念
V	为点的集合
E	则是边的集合
阶	图中点的个数
平凡图	只有一个点，也就是只有一个点。
零图	不包含边的成为零
圈/环	一边两头连接同一个点
平行边	两个顶点相同的边
重数	平行边的条数
简单图	没有平行边
完全图	每个点都与其他所有点关联

若$e=(u,v)$,则称点u和点v邻接

若$e=(u,v)$,则称点u,v与边e 关联

边和边若有公共顶点，两边邻接

每个点关联的边的条数成为点的度 记为 $d(v)$
一个圈度数为2

最小度数$\delta(G)$
最大度数$\Delta(G)$

对于p阶简单图有 $\Delta(G)<=p-1$

握手定理

$\sum_{v_i\subseteq V} d(v_i)=2q$

推论：

• 在一个图中，奇点的个数一定为偶数个

• 在二部图中最大的边数为$P^2/4$

• 度数为奇数的顶点有偶数个

图的连通性

概念	定义
通路	边的连线，从一个点到另一个点
回路	边的连线，从一个点出发回到原点
通路的长度	边的条数
简单通路	通路上所有边不相同
简单回路	回路上所有边不相同
基本通路	通路上所有点不相同
基本回路	回路上的顶点不相同
连通	顶点与顶点之间存在通路
连通图	任意的两个定点都存在通路

定理

• 若非零图G中没有奇点，则G中必有基本回路
• 若顶点v和w中有通路相连，则通路的长度小于等于p-1
• 若存在通过顶点v的简单回路，则一定存在通过顶点v的基本回路
• 若一个图中恰有两个奇点，则两个奇点之间连通
• 如果两个顶点的度之和大于p-1，那么图是连通图
• 若$\delta(G)>=(p-1)/2$，则是连通图

割点和桥

概念
割点
割边
割集
点割集
边割集
桥

去掉割点，割边，点割集，边割集，桥都会使图的连通性发生变化
去掉割集的真子集不会使图的连通性发生变化

连通度

点连通度

为了让G产生不连通图或平凡图，而需从G中去掉的最少的边数
$k(G)=min\{|V1|V1为G的点割集\}$

边连通度

为了让G产生不连通图或平凡图，而需从G中去掉的最少的边数
$\lambda(G)=min\{|E1|E1为G的边割集\}$

完全图的点连通图为p-1
定理：对于任意的图，都有：
$k(G)<=\lambda(G)<=\delta(G)$

图的矩阵表示

邻接矩阵

G=<V,E>是p阶图，则p阶方阵$A_G=(a_{aj})_{p*p}$ 为他的邻接矩阵
$a_{ij}$是为起点为$v_i$ 终点为$v_j$ 的边的数目（注：按序号排序）
性质：

• $A_G$对称非负整数矩阵
• G是简单图，当且仅当A_G主对角线上全为0的（0,1）矩阵
• G是完全图，出对角线上元素其他全为1
• G是无环图，对角线上的元素全为0
• G是图 则$\sum a_{aj}+a_{ii}*2 = 2q$ 邻接矩阵的握手定则

联通矩阵

如果$V_i$与$V_j$ 联通，则$a_{ij}$记为1，则构成的矩阵称为联通矩阵

关联矩阵

设G=<V,E>是<p,q>图，V={v1,v2,v3,v4…} ,E={e1,e2,e3,…}
由V构成行，E构成列从而构成的$M_G=(m_{ij})_{p*q}$ 称为关联矩阵
$m_j\left\{\begin{matrix} 2& e_j 是环且关联x_i\\ 1& e_j 关联环x_i且不是环_i\\ 0& e_j不关联x_i \end{matrix}\right.$

性质：

• 平行边对应的列相同
• 若某行元素全为0，则其对应的顶点为孤立点
• 每一列元素之和为2
• 第i行元素的和等于第i个顶点的度数
• 所有元素的和等于变数的两倍

欧拉图

定义：

• 包含了所有边的简单通路成为欧拉通路
• 包含所有边的简单回路成为欧拉回路
• 具有欧拉回路的图称为欧拉图
• 具有欧拉通路而没有欧拉回路的图称为半欧拉图

欧拉图所有的节点都是偶节点
半欧拉图只有他的起点和终点为奇点

哈密尔顿图

• 经过所有顶点的基本通路称为哈密尔顿通路，
• 经过所有顶点的基本回路称为哈密尔顿回路。
• 具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图
• 而只具有哈密尔顿通路则称半哈密尔顿图

性质

1. 每个哈密尔顿图联通且每个顶点的度数大于等于2
2. 哈密尔顿图中任何顶点有两条边在哈密尔顿回路上。一条入度，一条出度

来源：CSDN

作者：丨M丨

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43855152/article/details/103497548