孙子定理

背景 在我国古代的 《孙子算经》 一书中提到 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰：“二十三”。 以上问题可以表示成解一般的同余式组： X≡2(mod3) X≡3(mod5) X≡2(mod7) 令 a=2,b=3,c=2，上述式子又等于 X≡a(mod3) X≡b(mod5) X≡c(mod7) 则有 X≡70a+21b+15c(mod105) 关于这个解一般的同余式组解法，在明朝程大位的 《算法统宗》 里有一首歌： 三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七十团圆整半月，除百零五便得知。 译：三个人共同走路，其中有七十岁以上的老人可能性很少，五棵梅花树总共二十一枝，七个孩子当正月十五日时在家中团圆，把一百零五的某个倍数减去，就得到答案。 关于同余式的解法研究，我国古代有着极光辉的成果，那就是数学家——孙子，发明了驰名中外的 孙子定理 。 定理 如果K≥2，且 m1,m2,m3,…,mk是两两互素的K个整数，令M=m1m2m3…mk=m1M1=m2M2=m3M3=…=mkMk，则同时满足X≡b1(mod m1)，X≡b2(mod m2)，X≡b3(mod m3)，…，X≡bk(mod mk)的正整数解是 X≡b1M1 ’ M1+b2M2 ’ M2+b3M3 ’ M3+…+bkMk ’ Mk，其中Mi ’ 是满足同余式 Mi ’ Mi≡1(mod

问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何 ？ 简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。 定理1：两个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。 定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。 以上两个定理随便个例子即可证明！ 现给出求解该问题的具体步骤： 1、求出最小公倍数 lcm=3*5*7=105 2 、 求各个数所对应的基础数 （1）105÷3=35 35÷3=11......2 //基础数35 （2）105÷5=21 21÷5=4......1 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63 3 、 105÷7=15 15÷7=2......1 定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30 把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数） 35+63+30=128 4 、 减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下） x=128-105=23 那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。 （1）最小公倍数就不解释了，跳过

问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。 定理1：两个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。 定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。 以上两个定理随便个例子即可证明！ 现给出求解该问题的具体步骤： 1、求出最小公倍数 lcm=3 5 7=105 2、求各个数所对应的基础数 （1）105÷3=35 35÷3=11…2 //基础数35 （2）105÷5=21 21÷5=4…1 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63 3、105÷7=15 15÷7=2…1 定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30 把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数） 35+63+30=128 4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下） x=128-105=23 那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。 （1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况） （2