初等数论-孙子定理 一谈

背景

• 在我国古代的 《孙子算经》 一书中提到

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰：“二十三”。

• 以上问题可以表示成解一般的同余式组：
  X≡2(mod3)
  X≡3(mod5)
  X≡2(mod7)
• 令 a=2,b=3,c=2，上述式子又等于
  X≡a(mod3)
  X≡b(mod5)
  X≡c(mod7)
• 则有 X≡70a+21b+15c(mod105)
• 关于这个解一般的同余式组解法，在明朝程大位的 《算法统宗》 里有一首歌：

三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七十团圆整半月，除百零五便得知。

• 译：三个人共同走路，其中有七十岁以上的老人可能性很少，五棵梅花树总共二十一枝，七个孩子当正月十五日时在家中团圆，把一百零五的某个倍数减去，就得到答案。
• 关于同余式的解法研究，我国古代有着极光辉的成果，那就是数学家——孙子，发明了驰名中外的 孙子定理 。

定理

• 如果K≥2，且 m1,m2,m3,…,mk是两两互素的K个整数，令M=m1m2m3…mk=m1M1=m2M2=m3M3=…=mkMk，则同时满足X≡b1(mod m1)，X≡b2(mod m2)，X≡b3(mod m3)，…，X≡bk(mod mk)的正整数解是
• X≡b1M1^’M1+b2M2^’M2+b3M3^’M3+…+bkMk^’Mk，其中Mi^’是满足同余式
• Mi^’Mi≡1(mod mi)

例题

• 以文章开始提到的背景为例，首先确定M1，M2，M3

  M1=5*7=35
  M2=3*7=21
  M3=3*5=15

• 再来求 M1^’，M2^’，M3^’

  1≡M1^’M1(mod3)≡35M1^’(mod3)≡2M1^’(mod3)，故 M1^’=2
  1≡M2^’M2(mod5)≡21M2^’(mod5)≡1M2^’(mod5)，故 M2^’=1
  1≡M3^’M3(mod7)≡35M3^’(mod7)≡1M3^’(mod7)，故 M3^’=1

据定理，有

X≡2*2*35+3*1*21+2*1*15(mod3*5*7)，即X≡23(mod105)。
故
X=23+105K ，其中 k=0,1,2…

参见 《初等数论（Ⅰ）》（陈景润 著）

来源：CSDN

作者：清风过隙

链接：https://blog.csdn.net/qq_41252520/article/details/100019018