初等数论

《初等数论及其应用》第一章 整数（1） 1.1 数和序列 本节主要介绍了数集合、整数序列的概念。 数 良序性质 每个非空的正整数集合都有一个最小元。 良序性质可以作为定义正整数集合的公理，或者由一组公理推导出来。我们说正整数集合是良序的，但是所有整数的集合不是良序的，因为在有些整数集合中没有最小的元素，如负整数的集合，小于100的偶数集合和全体整数的集合。 有理数与无理数 定义： 如果存在整数p和q≠0，使得r=p/q，则称实数r是有理数。如果r不是有理的，则称为无理数。 例1.1 -22/7，0=0/1，2/17和1111/41都是有理数。 定理1.1： √2 是无理数。 代数数与超越数 定义： 数α称为代数数，如果它是整系数多项式的根；也就是说，α是代数数，如果存在整数a0，…，an使得a n α n +a n-1 α n-1 +……+a 0 =0.如果数α不是代数数，称之为超越数。 例1.2 无理数 √2 是代数数，因为它是多项式x 2 -2=0的根。 最大整数函数 最大整数 定义： 实数x的最大整数记为[x]，是小于或等于x的最大整数，即[x]是满足[x]≤x[x]+1的整数。 例1.3 [5/2]=2 ,[-5/2]=-3 ,[Π]=3 ,[-2]=-2 ,[0]=0 . 注记 最大整数函数也被称为取整函数。除此之外，还有上取整函数。 例1.4 如果n是整数

背景 在我国古代的 《孙子算经》 一书中提到 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰：“二十三”。 以上问题可以表示成解一般的同余式组： X≡2(mod3) X≡3(mod5) X≡2(mod7) 令 a=2,b=3,c=2，上述式子又等于 X≡a(mod3) X≡b(mod5) X≡c(mod7) 则有 X≡70a+21b+15c(mod105) 关于这个解一般的同余式组解法，在明朝程大位的 《算法统宗》 里有一首歌： 三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七十团圆整半月，除百零五便得知。 译：三个人共同走路，其中有七十岁以上的老人可能性很少，五棵梅花树总共二十一枝，七个孩子当正月十五日时在家中团圆，把一百零五的某个倍数减去，就得到答案。 关于同余式的解法研究，我国古代有着极光辉的成果，那就是数学家——孙子，发明了驰名中外的 孙子定理 。 定理 如果K≥2，且 m1,m2,m3,…,mk是两两互素的K个整数，令M=m1m2m3…mk=m1M1=m2M2=m3M3=…=mkMk，则同时满足X≡b1(mod m1)，X≡b2(mod m2)，X≡b3(mod m3)，…，X≡bk(mod mk)的正整数解是 X≡b1M1 ’ M1+b2M2 ’ M2+b3M3 ’ M3+…+bkMk ’ Mk，其中Mi ’ 是满足同余式 Mi ’ Mi≡1(mod

一、定义 定义：给定两个整数a，b,必有公共的因数，叫做它们的公因数，当a,b不全部为0时，在有限个公因数中最大的那个叫做a、b的最大公因数，记作(a,b) 二、一种方法――辗转相除法 描述：设a,b为任意两个整数，且b不为0，应用带余除法，以b除a,得到商q1,余数r1；如果余数r1不为0，以r1除b，得到商q2，余数r2;如果r2不等于0，以r2除r1,如此继续下去，在有限个除法后，必然得到rn不为0且整除rn-1。 三、最大公约数的性质 关于最大公约数有一条重要的性质，这条性质在求解一次同余方程和不定方程时经常遇到。 1) 证明：不妨设b>0,用b除a,则有a = b*q1 + r1, 若r1 = 0,(a,b) = (b,r1) = b;所以(a,b) = a * 0 + b * 1 若r1 != 0,用r1除b;b = r1 * q2 + r2, 　　若r2 = 0,(a,b) = (b,r1) = (r1,r2) = r1 = a - b * q1;所以(a,b) = a * 0 + b * (-q1) 　　若r2 != 0,用r2 除r1;r1 = r2 * q3 + r3. 　　　　若r3 = 0,(a,b) = (r2,r3) = r2 = b - r1 * q2 = b - (a - b * q1) * q2;所以(a,b) = a * (-q2) + b *

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乘法逆元 \(1、\) 定义： \(\frac{1}{a} \equiv b\pmod{p}\) ，则称 \(b\) 为 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的乘法逆元，记为 \(inv(a)\) 或 \(a^{-1}\) 。 \(2、\) 在模 \(p\) 意义下讨论乘法逆元的存在性 ​  设 \(a^{-1} = x\) ​   \(a\times x \equiv 1\) ​   \(\Leftrightarrow a \times x = 1 - py\) ​   \(\Leftrightarrow a x+py = 1\) ​  裴蜀定理告诉我们，该方程当且仅当 \(gcd(a,p) = 1\) 时有解。也就是说，当且仅当 \(a\) 与模数 \(p\) 互质时存在 \(a\) 的乘法逆元。因此大部分有理数取模问题给定的模数都是质数，这样能够在 \(a\bmod p \neq 0\) 的情况下保证存在 \(a\) 的逆元。 \(3、\) 乘法逆元的四种推导方式 扩展欧几里得算法 求 \(a\) 的逆元，也就是求出 \(\Leftrightarrow a x+py = 1\) 的一组解，使用扩展欧几里得算法直接求解得 \(x\) 即可。 void exgcd(int& x, int& y, int a, int p) { if (!p) { x = 1, y

1、最大公约数的两组性质 $(a, b) = (b, a % b)$。怎么用？可以用来求 gcd。可以作为 gcd 的一个重要的性质，比如 $(a, b) = (a, ax + b)$。 $\exists x, y, (a, b) = ax + by$。怎么用？可以将 (a, b) 表示成 a 和 b 的线性组合。也可以求出满足 ax + by = (a, b) 的 x 和 y。 $d | a, d | b \Leftrightarrow d | (a, b)$。怎么证？必要性：整除的传递性。充分性：$(a, b) = ax + by, d | ax + by$。怎么用？由 $d | (a, b)$ 转为 $d | a, d | b$ 可以方便改变求和指标进行求和。由 $d | a, d | b$ 转为 $d | (a, b)$ 可以化简，但是没有见到相关的例子。 $(a, b) = 1, (a, bc) = (a, c)$。怎么证？先证 $(a, c) | (a, bc)$，因为 $(a, bc) = ax + bcy, (a, c) | ax + bcy$。再证 $(a, bc) | (a, c)$，因为 $(a, b) | (a, bc) | (a, c)$。怎么用？对于 $(a, b) = 1$，可以将 $b$ 消去，起到化简的效果。 $(a, b) = 1, (a, c)

初学数论 学得十分肤浅 判断质数 for(i = 2;i * i <= n;i++) if(n % i == 0) { able = 1; break; } 判断1~n范围内的质数 inline void sieve(int x) { int i,j; prime[1] = 1; for(i = 2;i * i <= x;i++) if(!prime[i]) for(j = i * i;j <= x;j += i) prime[j] = 1; } 然后学的是 整数的唯一分解 对于$\forall$n 可表示为n = $\sum_{i = 1,p|n}^{m_i}$ $p^{w_i}_i$ //factorize for(i = 2;i * i <= n;i++) { if(!vis[i]) { p[++k] = i; while(n % i == 0) n /= i,w[k]++; } } if(n != 1) p[++k] = n,w[k]++; 最小公倍数和最大公约数（gcd&&lcm） 对于$\forall$ a,b$\in$ Z 辗转相除法 inline LL gcd(LL a,LL b) { if(a < b) exchange(a,b); if(b == 0) return a; return gcd(b,a % b); } 还可以用整数的唯一分解来求 $gcd(a,b