单调函数

前言 未完待续； 题型结构 形如：题目给定了某函数 \(f(x)=\cfrac{ax^2+x-1}{e^x}\) ，证明：当 \(a\ge 1\) 时， \(f(x)+e\ge 0\) 。 思路总结 1、利用不等式性质，消化掉题目中的参数； 2、利用左右相减做差构造新函数，证明新函数的最值； 3、若能分离参数，利用恒成立命题求解参数的取值范围，此范围只要包括 \(D\) 即可。 典例剖析 例1 【2018年全国卷Ⅰ卷文科数学第21题】 函数 \(f(x)=a\cdot e^x-lnx-1\) ， (1).设 \(x=2\) 是 \(f(x)\) 的极值点，求 \(a\) ，并求 \(f(x)\) 的单调区间。 分析： \(f'(x)=ae^x-\cfrac{1}{x}\) ，由 \(f'(2)=0\) ，解得 \(a=\cfrac{1}{2e^2}\) ； 即 \(f(x)=\cfrac{e^x}{2e^2}-lnx-1\) ；下面求单调区间，定义域是 \((0，+\infty)\) ， [法1]： \(f'(x)=\cfrac{e^x}{2e^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1}{2e^2}\cdot \cfrac{xe^x-2e^2}{x}\) 到此，结合题目给定的 \(f'(2)=0\) ，猜想验证，写出结果， 当 \(0< x <2\) 时， \(f'(x )

参考文献： https://www.jianshu.com/p/e59d51e1eef5 单调队列，顾名思义，是一种具有单调性的队列。众所周知，单调性有单调递增和单调递减两种，相应的单调队列也分为单调递增队列和单调递减队列两种。 单调递增队列 ：保证队列头元素一定是当前队列的最小值，用于维护区间的最小值。 单调递减队列 ：保证队列头元素一定是当前队列的最大值，用于维护区间的最大值。 实现单调队列，主要分为三个部分： 去尾操作 ： 队尾元素出队列 。当队列有新元素待入队，需要从队尾开始，删除影响队列单调性的元素，维护队列的单调性。(删除一个队尾元素后，就重新判断新的队尾元素) 去尾操作结束后，将该新元素入队列。 删头操作 ： 队头元素出队列 。判断队头元素是否在待求解的区间之内，如果不在，就将其删除。（这个很好理解呀，因为单调队列的队头元素就是待求解区间的极值） 取解操作 ：经过上面两个操作，取出 队列的头元素 ，就是 当前区间的极值 。 代码： // 假设有 n 个元素的序列，要求解的是长度为 k 的区间的最大值 // 队列que是STL的双向队列deque // 队列存放的是元素在序列中的序号 deque<int>que;// 双向队列 for(int i=1;i<=n;i++) { while(!que.empty() && a[que.back()]<a[i]) { que

\(\quad\) 看到这道题，觉得和 P5665 划分 很像，当时考场上我写的就是类似一些题解的 \(O(n^2)\) 算法，完美卡成 \(64\) 分。 \(\quad\) 我详细介绍一下 \(O(n)\) 的单调队列优化算法，也当作是自己学习单调队列的总结吧。 \(\quad\) 单调队列，顾名思义，具有单调性。它本质上是一个双端队列，队头代表当前的最优解（这一点很像优先队列）。 for(int i = 1; i <= n; ++i){ while(!q.empty() && out_of_date(q.front())) q.pop_front(); while(!q.empty() && notBetterThan(q.back(), i)) q.pop_back(); q.push_back(i); operate(q.front()); } \(\quad\) 结合这一份样例代码分析。为了便于理解，这里使用 STL 中的 deque 充当载体。 \(\quad\) 第一个 while 语句每次将处于队列前端的一些元素弹出队列：这些元素虽然最优，然而已经“过期”了，因而必须被排除。由于每个元素的“过期时间”具有单调性，即处于前面的元素一定比后面的更早“过期”，这一操作可以保证所有“过期”元素都被排除。 \(\quad\) 第二个 while

赛题说明 认识数据( 赛题说明 ) 了解比赛的背景（比赛要求选手根据给定数据集，建立模型，预测房屋租金） 分类问题还是回归问题（租金是个连续值，所以是回归问题） 熟悉比赛的评分函数： 对比赛数据做EDA 数据分析 缺失值分析（有缺失值的话要进行补充，比如用中位数、众数） 特征值分析（看看有没有异常值等等） 是否有单调特征列(单调的特征列很大可能是时间) 特征nunique分布 出现在测试集中的community，但是在训练集中数量较少（保证训练集和测测试集数据保持一致） 统计特征值出现频次大于100的特征 Label分布 不同的特征值的样本的label的分布 分割线,正文 1.导入所需要的包及载入数据 import warnings warnings.filterwarnings('ignore')#导入warning包，利用过滤器来实现忽略警告语句 import pandas as pd import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns #载入数据 data_train = pd . read_csv ( 'C:\\Users\\qiyao_wu\\Documents\\GitHub\\team-learning\\数据竞赛（房租预测）\\数据集\\train_data.csv' )

单调队列，顾名思义就是具有单调性的队列O(∩_∩)O~，一般的队列只能从队尾入队、队首出队；为了保持单调队列的单调性，单调队列除具有这两种性质外，还可以从队尾出队。 以单增的单调队列为例，当元素t要入队时，先要从队尾依次弹出所有>=t的元素，再将t加在队尾。 举个例子，如果序列：1 3 -1 -3 10要构成单调队列， 先将元素“1”放入队列中，以初始化队列， 接着元素“3”要入队，队尾元素“1”比“3”小，因此“3”可以直接入队，队列变为1 3， 接着“-1”要入队，从队尾依次弹出元素“3”“1”后将“-1”入队，队列变为-1， 同理“-3”入队后，队列变为-3, “10”入队后，队列变为-3 10 单调队列有什么用呢？看一道例题：（poj2823） 给定含有n个元素的无序序列a[]，和一个整数k，要求求出a[]中每连续k个元素组成的序列中的最小值（或最大值），这样的值可能有1个或n-k+1个。 比较简单的方式，是每次都将k个数的最值找出，具有O(K*n)的时间复杂度。但如果用单调队列的话，我们可以在O(n)的时间内求解，原因是每个元素最多入队一次、出队一次。 要解决该题，我们还要记录每个元素在原序列中的位置p,每次只需从队首开始找到跟当前元素a[i]距离不大于k的元素（即是i-p+1<=k）输出即可。 一、 什么是单调（双端）队列 单调队列，顾名思义，就是一个元素单调的队列

前言 典例剖析 例1 已知函数 \(f(x)=\cfrac{\sqrt{3}}{3}[cos(2x+\cfrac{\pi}{6})+4sinxcosx]+1\) ， \(x\in R\) ， (1).求 \(f(x)\) 的单调区间； 分析：化简为正弦型或者余弦型， \(f(x)=\cfrac{\sqrt{3}}{3}[cos(2x+\cfrac{\pi}{6})+4sinxcosx]+1\) ， \(=\cfrac{\sqrt{3}}{3}[(cos2x\cdot cos\cfrac{\pi}{6}-sin2x\cdot sin\cfrac{\pi}{6})+2sin2x]+1\) \(=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(\cfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x-\cfrac{1}{2}sin2x+2sin2x)+1\) \(=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(\cfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\cfrac{3}{2}sin2x)+1\) \(=\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\cfrac{1}{2}cos2x+1\) 即函数 \(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1\) ，[化简到此结束] 令 \(2k\pi-\cfrac{\pi}{2}\leqslant 2x+\cfrac{\pi}{6}

T1:   有个诡异的结论：最多按3次delete   然后类似于艾氏筛的dp就行了，复杂度 \(O(nloglogn)\) ，有点卡   正解是跑个最短路，感觉很优秀 T2:   考虑容斥，发现其实就是求：$\sum_{i=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} \mu (i)* \lfloor n/(i^2) \rfloor $   其中 \(\lfloor n/(i^2) \rfloor\) 可以整除分块，那么复杂度瓶颈在于求莫比乌斯函数的前缀和   低于线性的求积性函数前缀和， 杜教筛 即可 T3:   Treap = Tree+Heap (x)   椎 = 树 + 堆 ( \(\surd\) )   呵,在理   考虑肯定不能模拟treap，因为weight值并不随机，所以并不平衡   考虑将离线下来，对key值排序，那么 \(k_u\) 和 \(k_v\) 的lca一定是它们区间中weight最大的点   然后就考虑如何求x到lca的距离，考虑treap中weight的性质可知距离即为从x到lca中weight单调递增的点的个数   说白了就是维护单调栈的大小，线段树维护单调栈即可 来源： https://www.cnblogs.com/Gkeng/p/11837314.html

前言 恒成立和能成立命题是高中数学中一个非常重要的知识点，考查频次很高，由于借助这个命题能很好的考查学生的知识理解掌握能力，还能考查学生遇到新问题时的转化化归能力，考查学生思维的灵活性，所以是高考命题人的最爱之一，需要引起学生的广泛关注。而且其涵盖的数学素材很广，一定要认真学习和掌握。 能成立模型 \(A\leq f(x)\) 在区间 \([m，n]\) 上能成立[或有解]，等价于 \(A\leq f(x)_{max}\) ； \(A\ge f(x)\) 在区间 \([m，n]\) 上能成立[或有解]，等价于 \(A\ge f(x)_{min}\) ；说明：同上，碰到具体题目可能需要我们进行相应的转化化归，才会变形为上述的形式。 化鬼能成立 哪些问题或素材都能转化为能成立命题 ⒈存在性命题常常可以转化为能成立命题； 1 ⒉以方程有解的形式给出的，或者给出了方程的解的范围的，又或者以方程成立的形式给出的都可以考虑转化为能成立命题； 2 ⒊或方程解集、不等式解集不是空集； 3 ⒋函数有零点，或两个函数图像有交点 4 ⒌函数有极值点 5 ⒍两个函数的图像有关于 \(x、y\) 轴或原点的对称点； 6 ⒎ 以能成立形式给出； 7 ⒏以不是单调函数形式给出；或函数在某区间上不单调给出； 8 ⒐以函数 \(f(x)\) 存在单调区间的形式给出； 9 ⒑特称命题形式给出； 10 ⒒

2020张宇1000题·数一·刷题记录 第一篇 高等数学 第1章 极限、连续 三、数列极限(1.64-1.91) 换元，拆分，等价替换。 分母无理化，化简代值。 分母无理化，e的重要极限。 ？？？拉格朗日中值定理。 两次比较，用夹逼定理卡值，最快。笨一点的方法，改写，然后求导化简估值。 要分x=0与不等于0两种情况，同乘sinx/2^n。 换元后，硬求导求两次。或者同1.67，用拉格朗日中值定理，函数差值转化为导数与差的乘积。 提取、化简、往e^x-1靠，再两次等价替换。 极限的保号性？？？ 有待细查 。排除其他可举反例。 xₙ>0，所以数列xₙ有下界，是因为0肯定是xₙ的下界？？？  若单调数列a_n有界，则极限存在，记 \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n=A\) ，则 \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+a_n^2}=\dfrac{1}{1+A^2}\) ，存在；若单调数列a_n无界，则极限不存在， \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n=+ \infty或-\infty\) ，此时有 \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1+a_n

【学习笔记】动态规划—各种 DP 优化 【大前言】 个人认为贪心， \(dp\) 是最难的，每次遇到题完全不知道该怎么办，看了题解后又瞬间恍然大悟（TAT）。这篇文章也是花了我差不多一个月时间才全部完成。 【进入正题】 用动态规划解决问题具有 空间耗费大 、 时间效率高 的特点，但也会有时间效率不能满足要求的时候，如果算法有可以优化的余地，就可以考虑时间效率的优化。 【DP 时间复杂度的分析】 \(DP\) 高时间效率的关键在于它减少了“ 冗余 ”，即不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。而动态规划就是在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少“ 冗余 ”。 但是，一个动态规划问题很难做到完全消除“ 冗余 ”。 下面给出动态规划时间复杂度的决定因素： 时间复杂度 \(=\) 状态总数 \(×\) 每个状态转移的状态数 \(×\) 每次状态转移的时间 【DP 优化思路】 一：减少状态总数 \((1).\) 改进状态表示 \((2).\) 选择适当的规划方向 二：减少每个状态转移的状态数 \((1).\) 四边形不等式和决策的单调性 \((2).\) 决策量的优化 \((3).\) 合理组织状态 \((4).\) 细化状态转移 三：减少状态转移的时间 \((1).\) 减少决策时间 \(