前言
恒成立和能成立命题是高中数学中一个非常重要的知识点，考查频次很高，由于借助这个命题能很好的考查学生的知识理解掌握能力，还能考查学生遇到新问题时的转化化归能力，考查学生思维的灵活性，所以是高考命题人的最爱之一，需要引起学生的广泛关注。而且其涵盖的数学素材很广，一定要认真学习和掌握。
能成立模型
\(A\leq f(x)\)在区间\([m，n]\)上能成立[或有解]，等价于\(A\leq f(x)_{max}\)；\(A\ge f(x)\)在区间\([m，n]\)上能成立[或有解]，等价于\(A\ge f(x)_{min}\)；说明：同上，碰到具体题目可能需要我们进行相应的转化化归，才会变形为上述的形式。
化鬼能成立
哪些问题或素材都能转化为能成立命题
- ⒈存在性命题常常可以转化为能成立命题；1
- ⒉以方程有解的形式给出的，或者给出了方程的解的范围的，又或者以方程成立的形式给出的都可以考虑转化为能成立命题；2
- ⒊或方程解集、不等式解集不是空集；3
- ⒋函数有零点，或两个函数图像有交点 4
- ⒌函数有极值点5
- ⒍两个函数的图像有关于\(x、y\)轴或原点的对称点；6
- ⒎ 以能成立形式给出；7
- ⒏以不是单调函数形式给出；或函数在某区间上不单调给出； 8
- ⒐以函数\(f(x)\)存在单调区间的形式给出；9
- ⒑特称命题形式给出；10
- ⒒ 以至多至少型命题形式给出；11
- ⒓ 以新定义的形式给出；12
转化以后
- 先考虑能否分离参数，参见分离参数法；
如果能，转化为\(A\ge f(x)\)恒成立，则需要求函数\(f(x)\)的最值，函数如果形式简单，不用导数法，如果复杂，需要用导数法；如果不能，
- 再考虑数形结合，即左右两端的函数中，有一个带有参数，考虑其几何意义。
注意事项
1、有恒字的不一定是恒成立命题，如两个函数图像恒有交点，即两个函数图像至少有一个交点，其实是能成立命题。没有恒字的不一定不是恒成立命题。
2、不等式无解应该等价转化为不等式恒成立。比如，\(f(x)< x\)在\(R\)上无解，即意味着不等式\(f(x)< x\)的解集为\(x\in \varnothing\)，那么不等式\(f(x)\ge x\)在\(R\)上应该是恒成立的，即不等式\(f(x)\ge x\)的解集为\(x\in R\)，
引例，比如不等式\(e^x< x\)无解，即不等式\(e^x\ge x\)的解集为\(x\in R\)，即\(x\in R\)时，不等式\(e^x > x\)恒成立。
3、注意细节上的变化
若\(A\leq f(x)\)在区间\((m，n)\)上恒成立，等价于\(A\leq f(x)_{min}\)或最小值的极限。
若\(A< f(x)\)在区间\((m，n)\)上恒成立，等价于\(A\leq f(x)_{min}\)或最小值的极限。
存在实数\(x\)使得\(x^2+6mx+9m<0\)成立，求\(m\)的取值范围。
分析：即二次不等式\(x^2+6mx+9m<0\)有解，即\(\Delta=36m^2-36m>0\)，解得\(m<0\)或者\(m>1\)；↩引例1：函数\(f(x)=lnx+a\)，若方程\(f'(x)=f(x)\)的根\(x_0 <1\)，求实数\(a\)的取值范围。
分析：方程即\(\cfrac{1}{x}=lnx+a\)，转化为方程\(a=\cfrac{1}{x}-lnx\)，\(0< x <1\)时有解，令\(h(x)=\cfrac{1}{x}-lnx，0< x <1\)，
用导数求得其单调性，在\((0，1)\)单调递减，值域为\((1，+\infty)\)，故实数\(a\)的取值范围为\((1，+\infty)\)。↩引例：不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上有解，或不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上解集不是空集，
分析：具体解法，见下。↩引例：方程\(lnx=ax\)在\((0,+\infty)\)有解，即函数\(y=lnx\)和函数\(y=ax\)图像在\((0,+\infty)\)上有交点，利用数形结合求解；
引例：函数\(f(x)=lnx-ax\)在\((0,+\infty)\)有零点，即函数\(y=lnx\)和函数\(y=ax\)图像在\((0,+\infty)\)上有交点，利用数形结合求解；↩引例：已知函数\(f(x)=x(lnx-ax)\)有两个极值点，求\(a\)的取值范围【】
\(A.(-\infty，0)\) \(B.(0，\cfrac{1}{2})\) \(C.(0，1)\) \(D.(0，+\infty)\)
法1：函数\(f(x)=x(lnx-ax)\)有两个极值点，即导函数\(f'(x)=lnx+1-2ax\)有两个变号零点，
即方程\(lnx=2ax-1\)有两个不同实数根，即函数\(y=lnx\)与函数\(y=2ax-1\)有两个不同的交点，作出图像如右图；
设恒过定点的函数\(y=2ax-1\)与函数\(y=lnx\)相切于点\((x_0，y_0)\)，
则\(\begin{cases}2a=\cfrac{1}{x_0}\\y_0=2ax_0-1\\y_0=lnx_0\end{cases}\)，
解得\(x_0=1，y_0=0\)，即切点为\((1，0)\)，此时直线的斜率为\(k=1\)，
由图像可知，要使函数\(y=lnx\)与函数\(y=2ax-1\)有两个不同的交点，
则\(0<2a<1\)，即\(a\in(0，\cfrac{1}{2})\)，故选\(B\).
法2：转化为导函数\(f'(x)=lnx+1-2ax\)有两个变号零点，
分离参数得到，方程\(2a=\cfrac{lnx+1}{x}\)有两个不同的实根，
令\(g(x)=\cfrac{lnx+1}{x}\)，定义域为\(x>0\)，\(g'(x)=\cfrac{-lnx}{x^2}\)，
则\(x\in(0，1)\)时，\(g'(x)>0\)，函数\(g(x)\)单调递增，
\(x\in(1，+\infty)\)时，\(g'(x)<0\)，函数\(g(x)\)单调递减，
故\(g(x)_{max}=g(1)=1\)，
作出函数\(y=g(x)\)和\(y=2a\)的图像于同一个坐标系中，
则得到\(0<2a<1\)，即\(a\in(0，\cfrac{1}{2})\)，故选\(B\).↩引例：已知函数\(f(x)=lnx-x^3\)与\(g(x)=x^3-ax\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，求\(a\)的取值范围。
引例：已知函数\(f(x)=e^x+2(x<0)\)与\(g(x)=ln(x+a)+2\)的图像上存在关于\(y\)轴对称的点，求\(a\)的取值范围
引例：已知函数\(f(x)=lnx-x^2\)与函数\(g(x)=x^2-\cfrac{2}{x}-m\)的图像上存在关于原点的对称点，求\(m\)的取值范围
若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，则\(f(x)=-g(x)\)有解；
若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于\(y\)轴的对称点，则\(f(-x)=g(x)\)有解；
若函数\(f(x)\)与函数\(g(x)\)的图像上存在关于原点的对称点，则\(f(x)=-g(-x)\)有解；↩引例：已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2≥0\)在区间 \([1,5]\)上能成立，求参数\(a\)的取值范围。
分析：分离参数得到，\(a≥\cfrac{2}{x}－x\)在区间\([1,5]\)上能成立, 转化为求新函数\(\cfrac{2}{x}－x\)在\([1,5]\)上的最小值。
令\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x，g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)在区间 \([1,5]\)上单调递减，
所以\(g(x)_{min}=g(5)=-\cfrac{23}{5},\)所以\(a≥-\cfrac{23}{5}\)即\(a\)的取值范围是\([-\cfrac{23}{5}，+∞)\)↩引例1：若函数\(f(x)=x+alnx\)不是单调函数，则实数\(a\)的取值范围是 【 】
\(A.[0，+\infty)\) \(B.(-\infty，0]\) \(C.(-\infty，0)\) \(D.(0，+\infty)\)
分析：由题意知\(x>0\)，又\(f′(x)=1+\cfrac{a}{x}\)，
要使函数\(f(x)=x+alnx\)不是单调函数，
则需方程\(f'(x)=1+\cfrac{a}{x}=0\)在\(x>0\)上有解，
即方程\(a=-x\)在\(x>0\)上有解，
又函数\(g(x)=-x\)在\(x>0\)上的值域是\((-\infty，0)\)，故\(a\in(-\infty，0)\)。
引例2：函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax-5\)在区间\([-1，2]\)上不单调，则实数\(a\)的取值范围是_________。 \((-3，1)\)
法1：补集思想，\(f'(x)=x^2-2x+a\)，
若函数\(f(x)\)在\([-1，2]\)上单增，则\(f'(x)=x^2-2x+a\ge 0\)恒成立，
分离参数得到\(a\ge -x^2+2x\)恒成立，在\([-1，2]\)上求得函数\(f(x)_{max}=1\)，故\(a\ge 1\)；
若函数\(f(x)\)在\([-1，2]\)上单减，则\(f'(x)=x^2-2x+a\leq 0\)恒成立，
分离参数得到\(a\leq -x^2+2x\)恒成立，在\([-1，2]\)上求得函数\(f(x)_{min}=-3\)，故\(a\leq -3\)；
故取其补集，当\(-3< a <1\)时，函数\(f(x)\)在区间\([-1，2]\)上不单调。
法2：由题可知\(f(x)\)不单调，则导函数\(y=f'(x)\)在区间\([-1，2]\)上至少有一个变号零点，
当只有一个变号零点时，由\(f'(-1)\cdot f'(2)< 0\)可得，\(-3< a< 0\)；
当有两个变号零点时，由\(\begin{cases}f'(-1)>0\\f'(2)>0\\ \Delta >0\end{cases}\)，解得\(0< a <1\)；
再验证，当\(a=0\)时，也满足题意，
综上所述，实数\(a\)的取值范围是\((-3，1)\)。↩例 【2019高三理科数学资料用题】【2018荆州模拟改编】设函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1\)，函数\(g(x)=f(x)+2x\)，且\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内存在单调递减区间，求实数\(a\)的取值范围；
分析：\(g(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{a}{2}x^2+1+2x\)，则\(g'(x)=x^2-ax+2\)，
由\(g(x)\)在区间\((-2，-1)\)内存在单调递减区间，得到，
\(g'(x)=x^2-ax+2<0\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，
分离参数得到，\(a < x+\cfrac{2}{x}\)在区间\((-2，-1)\)上能成立，
而\(\left(x+\cfrac{2}{x}\right)_{max}=-2\sqrt{2}\)，当且仅当\(x=\cfrac{2}{x}\)，即\(x=-\sqrt{2}\)时取到等号，
故实数\(a\)的取值范围为\((-\infty，-2\sqrt{2})\)。
注意：存在单调递减区间，应该得到\(f'(x)<0\)能成立，而不是\(f'(x)\leq 0\)能成立。
若\(a=-2\sqrt{2}\)，由\(g'(x)=x^2+2\sqrt{2}x+2=(x+\sqrt{2})^2\ge 0\)恒成立，
则函数\(g(x)\)只能有单调递增区间，不会存在单调递减区间。↩引例：\(\exists x_0\in [1，5]\)，使得不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)成立。
分析：具体解法，见上。↩引例：不等式\(x^2 +ax-2\ge 0\)在区间 [1,5]上至少有一个解。
分析：具体解法，见上。↩例 定义：如果在\(y=f(x)\)定义域内的给定区间\([a,b]\)上存在\(x_0(a<x_0<b)\)，满足\(f(x_0)=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，则称函数\(y=f(x)\)是\([a,b]\)上的“平均值函数”，\(x_0\)是它的一个均值点，如\(y=x^4\)是\([-1,1]\)上的平均值函数，\(0\)是它的均值点，现有函数\(f(x)=-x^2+mx+1\)是\([-1,1]\)上的平均值函数，则实数\(m\)的取值范围是________________。
分析：由题意可知，存在\(x_0\in (-1,1)\)，使得\(f(x_0)=\cfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}\)，
化简得到，\(f(x_0)=m\)有解，即\(-x_0^2+mx_0+1=m\)，
即\((x_0-1)m=x_0^2-1\)，由于\(x_0-1\neq 0\)，故转化为\(m=x_0+1\)在\(x_0\in(-1,1)\)上有解，
即需要求函数\(y=x_0+1\)的值域，而\(x_0+1\in (0,2)\)，故\(m\in (0,2)\).↩
