1、Kruskal算法描述
Kruskal算法是基于贪心的思想得到的。首先我们把所有的边按照权值先从小到大排列，接着按照顺序选取每条边，如果这条边的两个端点不属于同一集合，那么就将它们合并，直到所有的点都属于同一个集合为止。至于怎么合并到一个集合，那么这里我们就可以用到一个工具——-并查集(不知道的同学请移步：Here)。换而言之，Kruskal算法就是基于并查集的贪心算法。
Prim算法适用于稠密图 Kruskal适用于稀疏图
2、Kruskal算法流程
对于图G(V,E)，以下是算法描述：
输入： 图G
输出： 图G的最小生成树
具体流程：
(1)将图G看做一个森林，每个顶点为一棵独立的树
(2)将所有的边加入集合S，即一开始S = E
(3)从S中拿出一条最短的边(u,v)，如果(u,v)不在同一棵树内，则连接u,v合并这两棵树，同时将(u,v)加入生成树的边集E'
(4)重复(3)直到所有点属于同一棵树，边集E'就是一棵最小生成树
输入： 图G
输出： 图G的最小生成树
具体流程：
(1)将图G看做一个森林，每个顶点为一棵独立的树
(2)将所有的边加入集合S，即一开始S = E
(3)从S中拿出一条最短的边(u,v)，如果(u,v)不在同一棵树内，则连接u,v合并这两棵树，同时将(u,v)加入生成树的边集E'
(4)重复(3)直到所有点属于同一棵树，边集E'就是一棵最小生成树
我们用现在来模拟一下Kruskal算法，下面给出一个无向图B,我们使用Kruskal来找无向图B的最小生成树。
首先，我们将所有的边都进行从小到大的排序。排序之后根据贪心准则，我们选取最小边(A,D)。我们发现顶点A,D不在一棵树上，所以合并顶点A,D所在的树，并将边(A,D)加入边集E‘。
我们接着在剩下的边中查找权值最小的边，于是我们找到的(C,E)。我们可以发现，顶点C,E仍然不在一棵树上，所以我们合并顶点C，E所在的树，并将边(C,E)加入边集E'
不断重复上述的过程，于是我们就找到了无向图B的最小生成树，如下图所示：
3、Kruskal算法的时间复杂度
Kruskal算法每次要从都要从剩余的边中选取一个最小的边。通常我们要先对边按权值从小到大排序，这一步的时间复杂度为为O(|Elog|E|)。Kruskal算法的实现通常使用并查集，来快速判断两个顶点是否属于同一个集合。最坏的情况可能要枚举完所有的边，此时要循环|E|次，所以这一步的时间复杂度为O(|E|α(V))，其中α为Ackermann函数，其增长非常慢，我们可以视为常数。所以Kruskal算法的时间复杂度为O(|Elog|E|)。
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 #include<cmath>
6 #include<queue>
7 #include<stack>
8 #include<map>
9 #include<sstream>
10 using namespace std;
11 typedef long long ll;
12 const int maxn = 3e5 + 10;
13 const int INF = 1 << 30;
14 int dir[4][2] = {1,0,0,1,-1,0,0,-1};
15 int T, n, m, x;
16 struct edge
17 {
18 int u, v, w;
19 bool operator <(const edge& a)const
20 {
21 return w < a.w;
22 }
23 };
24 edge a[maxn];
25 int par[600], high[600];
26 //初始化n个元素
27 void init(int n)
28 {
29 for(int i = 0; i < n; i++)
30 {
31 par[i] = i;
32 high[i] = 0;
33 }
34 }
35 //查询树的根
36 int Find(int x)
37 {
38 return par[x] == x ? x : par[x] = Find(par[x]);//路径压缩
39 }
40 void unite(int x, int y)
41 {
42 x = Find(x);
43 y = Find(y);
44 if(x == y)return;
45 if(high[x] < high[y])par[x] = y;//y的高度高，将x的父节点设置成y
46 else
47 {
48 par[y] = x;
49 if(high[x] == high[y])high[x]++;
50 }
51 }
52 bool same(int x, int y)
53 {
54 return Find(x) == Find(y);
55 }
56 void kruskal(int n, int m)//点数n，边数m
57 {
58 int sum_mst = 0;//mst权值
59 int num= 0;//已经选择的边的边数
60 sort(a, a + m);//边进行排序
61 init(n);//初始化并查集
62 for(int i = 0; i < m; i++)
63 {
64 int u = a[i].u;
65 int v = a[i].v;
66 if(Find(u - 1) != Find(v - 1))//图最开始的下标是1，并查集是0
67 {
68 printf("%d %d %d\n", u, v, a[i].w);
69 sum_mst += a[i].w;
70 num++;
71 unite(u - 1, v - 1);
72 }
73 if(num >= n - 1)break;
74 }
75 printf("weight of mst is %d\n", sum_mst);
76 }
77 int main()
78 {
79 cin >> n >> m;
80 for(int i = 0; i < m; i++)
81 {
82 cin >> a[i].u >> a[i].v >> a[i].w;
83 }
84 kruskal(n, m);
85 return 0;
86 }
87 输入：
88 7 9
89 1 2 28
90 1 6 10
91 2 3 16
92 2 7 14
93 3 4 12
94 4 5 22
95 4 7 18
96 5 6 25
97 5 7 24
98 输出：
99 1 6 10
100 3 4 12
101 2 7 14
102 2 3 16
103 4 5 22
104 5 6 25
105 weight of mst is 99
来源：oschina
链接：https://my.oschina.net/u/4305000/blog/4487276