文本编辑器的查找替换功能我们应该都不陌生，它是如何实现的呢？
上一节我们学习了 BF 算法 和 RK 算法，它们也可以实现者功能，但是在某些极端情况下，BF 算法性能会退化的比较严重，而 RK 算法需要用到哈希算法，而设计一个可以应对各种类型字符的哈希算法并不简单。
那么，对于查找功能是重要的软件来说，比如一些文本编辑器，它们的查找功能都是用哪种算法来实现的呢？有没有比 BF 算法和 RK 算法更加高效的字符串匹配算法呢？
今天，我们就来学习 BM（Boyer-Moore）算法。它是一种非常高效的字符串匹配算法，有实验统计，它的性能时著名的 KMP 算法的 3 到 4 倍。BM 算法的原理很复杂，比较难懂。
BM 算法的核心思想
我们把模式串和主串的匹配过程，看作模式串在主串中不停地往后滑动。当遇到不匹配的字符时，BF 算法和 RK 算法的做法是，模式串往后滑动一位，然后从模式串的第一个字符开始重新匹配。
在这个例子中，主串中的 c，在模式串中是不存在的，所以，模式串向后滑动的时候，只要 c 与模式串有重合，肯定无法匹配。所以，我们可以一次性把模式串往后多滑动几位，把模式串移动到 c 的后面。
由现象找规律，当遇到不匹配的字符时，有什么固定的规律，可以将模式串往后多滑动几位呢？这样一次性往后滑动好几位，那匹配的效率岂不是就提高了？
今天学习的 BM 算法，本质上其实就是在寻找这种规律。借助这种规律，在模式串与主串匹配的过程中，当模式串和主串某个字符不匹配的时候，能够跳过一些肯定不会匹配的情况，将模式串往后多滑动几位。
BM 算法原理分析
BM 算法包含两部分，分别是坏字符规则（bad character rule）和好后缀规则（good suffix shift）。
1. 坏字符规则
前面一节讲的算法，在匹配的过程中，我们都是按模式串的下标从小到大的顺序，依次与主串中的字符进行匹配的。这种匹配规则比较符合我们的思维习惯，而 BM 算法的匹配顺序比较特别，它是按照模式串下边从大到小的顺序，倒着匹配的。
我们从模式串的末尾往前倒着匹配，当我们发现某个字符没法匹配的时候。我们把这个没有匹配的字符叫做坏字符（主串中的字符）。
我们拿坏字符 c 在模式串中查找，发现模式串中并不存在这个字符，也就是说，字符 c 与模式串中的任何字符都不可能匹配。这个时候，我们可以将模式串直接往后滑动三位，将模式串滑动到 c 后面的位置，再从模式串的末尾字符开始比较。
这个时候，我们发现，模式串中最后一个字符 d，还是无法跟主串中的 a 匹配，这时候，还能将模式串往后滑动三位吗？答案是不行的。因为这时候，坏字符 a 在模式串中是存在的，模式串中下标是 0 的位置也是字符 a。这种情况下，我们可以将模式串往后滑动两位，让两个 a 上下对齐，然后再从模式串的末尾字符开始，重新匹配。
这一次不匹配的时候，我们滑动了三位，第二次不匹配的时候，我们将模式串后移两位，那具体移动多少位，规律是什么？
当发生不匹配的时候，我们把坏字符对应的模式串中的字符下标记作 si。如果坏字符在模式串中存在，我们把这个坏字符在模式串中的下标记作 xi。如果不存在，我们把 xi 记作 -1。那模式串往后移动的位数就等于 si-xi。（注意，这里说的是下标，都是字符在模式串中的下标）
这里需要特别说明一点，如果坏字符在模式串里多次出现，那我们在计算 xi 的时候，选择最靠后的哪个，因为这样不会让模式串滑动过多，导致本来可能匹配的情况被滑动略过。
利用坏字符规则，BM 算法在最好情况下的时间复杂度非常低，是 O(n/m)。比如，主串是 aaabaaabaaabaaab，模式串是 aaaa。每次比对，模式串都可以直接后移四位，所以，匹配具有类似特点的模式串和主串的时候，BM 算法非常高效。
不过，单纯使用坏字符规则还是不够的。因为根据 si-xi 计算出来的移动位数，有可能是负数，比如主串是 aaaaaaaaaaaaaaaa，模式串是 baaa。不但不会向后滑动模式串，还有可能倒退。所以，BM 算法还需要用到“好后缀规则”。
2. 好后缀规则
好后缀规则实际上跟坏字符规则的思路很类似。如下图所示，当模式串滑动到图中位置的时候，模式串和主串有 2 个字符是匹配的，倒数第 3 个字符发生了不匹配的情况。
这个时候该如何滑动模式串呢？当然，我们还可以利用坏字符规则来计算模式串的滑动位数，不过，我们也可以使用好后缀处理规则。两种规则到底如何选择？我们稍后介绍。抛开这个问题，我们来看看好后缀规则是如何工作的？
我们已经匹配的 bc 叫作好后缀，记作{u}。我们拿它在模式串中查找，如果找到了另一个跟{u}相匹配的子串{u*}，那我们就将模式串滑动到子串{u*}与主串中{u}对齐的位置。
如果在模式串中找不到另一个等于{u}的子串，我们就直接将模式串，滑动到主串中{u}的后面，因为之间的任何一次往后滑动，都没有匹配主串中{u}的情况。
不过，当模式串中不存在等于{u}的子串时，我们直接将模式串滑动到主串{u}的后面。这样做是否有点太过头了呢？我们看下面的例子。这里面 bc 是好后缀，尽管在模式串中没有另外一个相匹配的子串{u*}，但是如果我们将模式串移动到好后缀的后面，如图所示，那就会错过模式串和主串可以匹配的情况。
如果好后缀在模式串中不存在可匹配的子串，那在我们一步一步往后滑动模式串的过程中，只要主串中的{u}与模式串有重合，那肯定就无法完全匹配。但是当模式串滑动到前缀与主串中{u}的后缀有部分重合的时候，并且重合的部分相等的时候，就有可能会存在完全匹配的情况。
所以，针对这种情况，我们不仅要看好后缀在模式串中，是否有另一个匹配的子串，我们还要考察好后缀的后缀子串，是否存在跟模式串的前缀子串匹配的子串。
所谓某个字符串 s 的后缀子串，就是最后一个字符跟 s 对齐的子串，比如 abc 的后缀子串就包括 c，bc。所谓前缀子串，就是起始字符跟 s 对齐的子串，比如 abc 的前缀子串有 a，ab。我们从好后缀的后缀子串中，找一个最长的并且能跟模式串的前缀子串匹配的，假设是{v}，然后将模式串滑动到如图所示的位置。
坏字符和好后缀的基本原理都讲完了，我们来回答下前面的那个问题。当模式串和主串中的某个字符不匹配的时候，如何选择用好后缀规则还是坏字符规则，来计算模式串往后滑动的位数？
我们可以分别计算好后缀和坏字符往后滑动的位数，然后取两数中最大的，作为模式串往后滑动的位数。这种处理方法还可以避免我们前面提到过的，根据坏字符规则，计算得到的往后滑动的位数，有可能是负数的情况。
BM 算法代码实现
坏字符规则代码实现
“坏字符规则”本身不难理解。当遇到坏字符时，要计算往后滑动的位数 si-xi，其中 xi 的计算是重点，我们如何求得 xi 呢？或者说，如何查找坏字符在模式串中出现的位置呢？
如果我们拿坏字符，在模式串中顺序遍历查找，这样就会比较低效，势必会影响这个算法的性能。有没有更加高效的方式？我们之前学过散列表，这里就可以派上用场了。我们可以将模式串中的每个字符及其下标都存在散列表中。这样就可以快速找到坏字符在模式串的位置下标了。
关于这个散列表，我们只实现一种最简单的情况，假设字符串的字符集不是很大，每个字符长度都是 1 字节，我们用大小为 256 的数组，来记录每个字符在模式串中出现的位置。数组的下标对应字符的 ASCII 码值，数组中存储这个字符在模式串中出现的位置。
将上面的过程翻译成代码，就是下面的样子。其中，变量 b 是模式串，m 是模式串的长度，bc 表示刚刚讲的散列表。
// 全局变量或成员变量
private static final int SIZE = 256;
// 生成模式串散列表
private void generateBC(char[] b, int m, int[] bc){
// 初始化 bc
for(int i = 0; i < SIZE; i++){
bc[i] = -1;
}
for(int i = 0; i < m; i++){
// 计算 b[i] 的 ASCII 码值
int ascii = (int)b[i];
// 设置下标为码值的字符在模式串中的位置
bc[ascii] = i;
}
}
掌握了坏字符规则之后，我们先把 BM 算法代码的大框架携号，先不考好后缀规则，仅用坏字符规则，并且不考虑 si-xi 计算得到的移动位数可能会出现负数的情况。
// a 是主串，n 是主串的长度，b 是模式串，m 是模式串的长度
public int bm(char[] a, int n, char[] b, int m){
// 记录每个模式串中的每个字符最后出现的位置
int[] bc = new int[SIZE];
// 构建坏字符哈希表
generateBC(b, m, bc);
// i 表示主串与模式串对齐的第一个字符
int i = 0;
while(i <= n - m){
// 坏字符对应模式串中的下标是 j
int j;
// 模式串从后往前匹配
for(j = m - 1; j >=0; j--){
if(a[i+j] != b[j]){
break;
}
}
if(j < 0){
// 匹配成功，返回主串与模式串第一个匹配的字符的位置
return i;
}
// 这里等同于将模式串往后滑动 j-bc[(int)a[i+j]] 位
i = i + (j - bc[(int)a[i+j]]);
}
}
结合着下图，可以更好的理解代码。
至此，我们已经实现了包含坏字符规则的框架代码，只剩下往框架代码中填充好后缀规则了。现在，我们来看看，如何实现好后缀规则，它的实现要比坏字符规则复杂一些。
好后缀规则代码实现
我们先来回顾下，前面讲过好后缀的处理规则中的最核心的内容：
- 在模式串中，查找跟好后缀匹配的另一个子串；
- 在好后缀的后缀子串中，查找最长的、能跟模式串前缀子串匹配的后缀子串。
在不考虑效率的情况下，这两个操作都可以用很“暴力”的匹配查找方式解决。但是，如果想要 BM 算法的效率很高，这部分就不能太低效了。
因为好后缀也是模式串本身的后缀子串，所以，我们可以在模式串和主串正式匹配之前，通过预处理模式串，预先计算好模式串的每个后缀子串，对应的另一个可以匹配子串的位置。这个预处理过程比较有技巧，很不好懂，应该是这节最难懂的内容。
我们先来看，如何表示模式串中不同的后缀子串呢？因为后缀子串的最后一个字符的位置是固定的，下标是 m - 1，我们只需要记录长度就可以了。通过长度，我们可以确定一个唯一的后缀子串。
现在，我们要引入最关键的变量 suffix 数组。suffix 数组的下标 k，表示后缀子串的长度，下标对应的数组值存储的是，在模式串中跟好后缀{u}相匹配的子串{u*}的起始下标值。如下图。
但是，如果模式串中有多个（大于 1 个）子串跟后缀子串{u}匹配，那 suffix 数组中该存储哪一个子串的起始位置呢？为了避免模式串往后滑动的过头了，我们肯定要存储模式串中最靠后的哪个子串的起始位置，也就是下标最大的那个子串的起始位置。不过，这样处理就足够了吗？
实际上，仅仅是选择最靠后的子串片段来存储是不够的。我们再回忆下好后缀规则。
我们不仅要在模式串中，查找跟好后缀匹配的另一个子串，还要在好后缀的后缀子串中，查找最长的能跟模式串前缀子串匹配的后缀子串。
如果我们只记录刚刚定义的 suffix，实际上，只能处理规则的前半部分，也就是，在模式串中，查找跟好后缀匹配的另一个子串。所以，除了 suffix 数组之外，我们还需要另外一个 boolean 类型的 prefix 数组，来记录模式串的后缀子串是否能匹配模式串的前缀子串。
如何计算并填充这两个数组的值？这个计算过程非常巧妙。
我们拿下标从 0 到 i 的子串（i 可以是 0 到 m - 2）与整个模式串，求公共后缀子串。如果公共后缀子串的长度是 k，那我们就记录 suffix[k] = j （j 表示公共后缀子串的起始下标）。如果 j 等于 0，也就是说，公共后缀子串也是模式串的前缀子串，我们就记录 prefix[k] = true。
我们把 suffix 数组和 prefix 数组的计算过程翻译成代码。
// b 表示模式串，m 表示长度，suffix、prefix 数组事先申请好
private void generateGS(char[] b, int m, int[] suffix, boolean[] prefix){
// 初始化数组
for(int i = 0; i < m; i++){
suffix[i] = -1;
prefix[i] = false;
}
// 遍历 m-1 次，每次都求公共后缀子串
// b[0, i]
for(int i = 0; i < m - 1; i++){
int j = i;
// 公共后缀子串长度
int k = 0;
// 与 b[0, m-1] 求公共后缀子串
// 从模式串的最后一位开始，往前遍历，匹配字符是否相等
while(j >= 0 && b[j] == b[m-1-k]){
--j;
++k;
// j + 1 b 表示公共后缀子串在 b[0, i] 中的起始下标
suffix[k] = j + 1;
}
// 如果公共后缀子串也是模式串的前缀子串
if(j == -1){
prefix[k] = true;
}
}
}
有了这两个数组之后，我们现在来看，在模式串与主串匹配的过程中，遇到不能匹配的字符时，如何根据好后缀规则，计算模式往后滑动的位数？
假设好后缀的长度是 k。我们先拿好后缀，在 suffix 数组中查找其匹配的子串。如果 suffix[k] 不等于 -1（-1 表示不存在匹配的子串），那么我们就将模式串往后移动 j - suffix[k] + 1 位（j 表示坏字符对应的模式串中的字符下标）。如果 suffix[k] 等于 -1，表示模式串中不存在另一个跟好后缀匹配的子串片段。我们可以有哪个下面的这条规则来处理。
好后缀的后缀子串 b[r, m-1]（其中，r 取值从 j+2 到 m-1）的长度 k = m - r，如果 prefix[k] 等于 true，表示长度为 k 的后缀子串，有可匹配的前缀子串，这样我们可以把模式串后移 r 位。
如果两条规则都没有找到可以匹配好后缀及其后缀子串的子串，我们就将整个模式串后移 m 位。
至此，好后缀规则的代码实现就讲完了。我们把好后缀规则加到前面的代码框架里，就可以得到 BM 算法的完整版代码实现。
// a，b 表示主串和模式串；n，m 表示主串和模式串的长度
public int bm(char[] a, int n, char[] b, int m){
// 记录模式串中每个字符最后出现的位置
int[] bc = new int[SIZE];
// 构建坏字符哈希表
generateBC(b, m, bc);
int[] suffix = new int[m];
boolean[] prefix = new boolean[m];
// 预处理模式串的公共后缀子串信息
generateGS(b, m, suffix, prefix);
// i 表示主串与模式串匹配的第一个字符
int i = 0;
while(i <= n - m){
// 坏字符对应模式串中的下标是 j
int j;
// 模式串从后往前匹配
for(j = m - 1; j >= 0; j--){
if(a[i+j] != b[j]){
break;
}
}
if(j < 0){
// 匹配成功，返回主串与模式串第一个匹配的字符的位置
return i;
}
// 坏字符规则计算的模式串需要往后滑动的位数
int x = j - bc[(int)a[i+j]];
// 好后缀规则计算的模式串需要往后滑动的位数
int y = 0;
if(j < m - 1){
// 如果有好后缀的话
y = moveByGS(j, m, suffix, prefix);
}
i = i + Math.max(x, y);
}
return -1;
}
// j 表示坏字符对应的模式串中的字符下标；m 表示模式串长度
private int moveByGS(int j, int m, int[] suffix, boolean[] prefix){
// 好后缀的长度
int k = m - 1 - j;
// 模式串中有好后缀
if(suffix[k] != -1){
return j - suffix[k] + 1;
}
for(int r = j + 2; r <= m - 1; r++){
if(prefix[m-r] == true){
return r;
}
}
return m;
}
BM 算法的性能分析及优化
先来分析 BM 算法的内存消耗。整个算法用到了额外的 3 个数组，其中 bc 数组的大小跟字符集大小有关，suffix 数组和 prefix 数组的大小与模式串长度 m 有关。
如果我们处理字符集很大的字符串匹配问题，bc 数组对内存的消耗就比较多。因为好后缀和坏字符规则是独立的，如果我们运行的环境对内存要求苛刻，可以只使用好后缀规则，不使用坏字符规则。这样就就可以避免 bc 数组过多的内存消耗。不过，单纯使用好后缀规则的 BM 算法效率就会下降一些了。
对于执行效率来说，我们可以先从时间复杂度的角度来分析。
我们前面讲的 BM 算法只是个初级版本。有些复杂的优化我们没有讲。基于这个版本，在极端情况下，预处理计算 suffix 数组、prefix 数组的性能会比较差。
比如模式串是 aaaaaaaaa 这种包含很多重复的字符的模式串，预处理的复杂度就是 O(m^2)。当然，大部分情况下，时间复杂度不会这么差。
实际上，BM 算法的时间复杂度分析起来是非常复杂，这篇论文“A new proof of the linearity of the Boyer-Moore string searching algorithm”证明了在最坏情况下，BM 算法的比较次数上限是 5n。这篇论文“Tight bounds on the complexity of the Boyer-Moore string matching algorithm”证明了在最坏情况下，BM 算法的比较次数上限是 3n。你可以自己阅读看看。
解决开篇 & 内容小结
BM 算法，尽管复杂、难度，但是匹配的效率却很高，在实际的软件开发中，特别是一些文本编辑器，应用比较多。
BM 算法的核心思想是，利用模式串本身的特点，在模式串中某个字符与主串不能匹配的时候，将模式串往后多滑动几位，以此来减少不必要的字符比较，提高匹配的效率。
BM 算法构建的规则有两类，坏字符规则和好后缀规则。好后缀规则可以独立于坏字符规则。因为坏字符规则的实现比较耗内存，为了节省空间，我们可以只用好后缀规则来实现 BM 算法。
课后思考
你熟悉的编程语言中的查找函数、或者工具、软件中的查找功能，都是用了哪种字符串匹配的算法呢？
来源：oschina
链接：https://my.oschina.net/u/4150612/blog/4269773