圆锥曲线

写在前面：

　　高考学习笔记

　　冲刺130天

　　有原创内容（大概吧呃呃呃）

 

 

目录 定义 椭圆 双曲线 抛物线 历史 性质 椭圆 双曲线 抛物线

定义

　　圆锥曲线是由一平面截二次锥面得到的曲线，包括椭圆、抛物线、双曲线（高中认为圆不是椭圆）。

 

 

抛物线不是双曲线的一支（下图中仍然为双曲线而不是抛物线）

 

 

 

椭圆：

　　椭圆第一定义：平面内，到两定点F₁、F₂的距离的和等于常数2a的点的集合。（2a>|F₁F₂|）

　　椭圆第二定义：平面内，到定点F距离与到定直线l间距离之比为常数e的点的集合。（定点F不在定直线上，e为离心率，0<e<1，左准线配左焦点，右准线配右焦点）

　　椭圆第三定义：平面内，到两定点的斜率乘积等于常数 e²- 1的点的集合（再补上斜率不存在的直线对应的点）。（然后可以规定两定点连线中点为原点）（e为离心率，0<e<1）

　　表示方法：

　　　　①标准方程

　　　　　　焦点在x轴上：

　　　　　　焦点在y轴上：

　　　　　　规律：a在谁下面，焦点就在谁上

　　　　②参数方程

　　　　　　焦点在x轴上：　　或　　

　　　　　　焦点在y轴上：　　或　　

　　　　　　规律：a和谁在一起，焦点就在谁上

　　　　　　原理：

　　　　　　　　若取内切圆的y坐标为椭圆y坐标，取外接圆的x坐标为椭圆x坐标，焦点就在x轴上

　　　　　　　　若取内切圆的x坐标为椭圆x坐标，取外接圆的y坐标为椭圆y坐标，焦点就在y轴上

　　　　③极坐标：略

　　图例：

双曲线：

　　双曲线第一定义：平面内，到两定点F₁、F₂的距离之差的绝对值为常数2a的点的集合。

　　双曲线第二定义：平面内，到定点F及直线l的距离之比为常数e的点的集合。（定点F不在定直线上，e为离心率，1<e，左准线配左焦点，右准线配右焦点）

　　双曲线第三定义：平面内，到两定点的斜率乘积等于常数 e²- 1的点的集合（再补上斜率不存在的直线对应的点）。（然后可以规定两定点连线中点为原点）（e为离心率，1<e）（因为顺序问题，过两定点的直线不可能是之后作出来的双曲线的渐近线）

　　表示方法：

　　　　①标准方程

　　　　　　焦点在x轴上：

　　　　　　焦点在y轴上：

　　　　　　规律：谁是正的，焦点就在谁上

　　　　②参数方程

　　　　　　焦点在x轴上：

　　　　　　焦点在y轴上：

　　　　　　规律：sec和谁在一起，焦点就在谁上

　　　　　　原理：

　　　　③极坐标：略

　　图例：

抛物线：

　　抛物线定义：到定点F及直线l的距离之比为1的点的集合。（定点F不在定直线上，e为离心率，e=1）

　　表示方法：

　　　　①标准方程

　　　　　　焦点在x轴正半轴：x = 2py²

　　　　　　焦点在x轴负半轴：x = -2py²

　　　　　　焦点在y轴正半轴：y = 2px²

　　　　　　焦点在y轴负半轴：y = -2px²

　　　　　　规律：带“-”就在负半轴，谁是一次的焦点在谁上

　　　　②参数方程：略

　　　　③极坐标：略

　　图例：

 

 

历史

　　对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。

　　有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线。

　　又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。

　　还有认为，古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线（然而日晷在古代已失传）。

　　早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家Apollonius。他与Euclid是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与Euclid的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。

　　在《圆锥曲线》中，Apollonius总结了前人的工作，尤其是Euclid的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。

 

性质

椭圆：

 

双曲线：

 

抛物线：

 

 

来源：https://www.cnblogs.com/Antigonae/p/12237924.html