2020.01.30日常总结

$\color{green}{洛谷P2568\ \ \ GCD}$

$\color{blue}{【题意】：}$ 给定$N(1 \leq N \leq 1 \times 10^7)$，求有多少对$(x,y)$满足$1 \leq x,y \leq N$且$gcd(x,y)$为素数（$gcd(x,y)$表示$x,y$的$\color{red}{最大公约数}$）。

$\color{blue}{【思路】：}$ 首先，我们求出$1-N$中的所有的素数，然后我们枚举$gcd(x,y)$。因为$1$到$1 \times 10^7$的素数个数也不是很多，所以枚举也是很快的。

我们设$gcd(x,y)=p,x=a \times p, y=b \times p$，因此，问题被我们转化为了求有多少对$(a,b)$，使得$a,b$满足$1 \leq a,b \leq \frac{N}{p},gcd(a,b)=1$。

于是子问题的答案为$2 \times (\varphi(1)+\varphi(2)+...+\varphi(\frac{N}{p}))-1$。减一是因为$\varphi(1)$被重复算了两次。

于是，我们就只需要预处理出素数，所有的$\varphi(i)$和其前缀和即可。

$\varphi (i)$表示$[1,i]$中有多少个数与$i$互质。

$\color{blue}{【代码】：}$

const int N=1e7+100;
typedef long long ll;
int phi[N];ll prefix_phi[N];
int prime[N],n,tot,t[N];ll ans;
void get_prime_and_phi(int n){
	prefix_phi[0]=0;phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if (!t[i]){
			phi[i]=i-1;t[i]=i;
			prime[++tot]=i;
		}
		for(int j=1;j<=tot;j++){
			if ((ll)i*prime[j]>(ll)n) break;
			t[i*prime[j]]=prime[j];
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-(prime[j]<t[i]));
			if (prime[j]==t[i]) break;
		}
	}
}
void calc_prefix_phi(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		prefix_phi[i]=prefix_phi[i-1]+phi[i];
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	get_prime_and_phi(n);
	calc_prefix_phi(n);
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		ans+=2*prefix_phi[n/prime[i]]-1;
	cout<<ans;
	return 0;
}

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$\color{green}{CF632D\ \ \ Longest\ Subsequence}$

$\color{blue}{【题意】：}$ 给出$N$个数（记序列为$A$），要求选出尽可能多的数，满足它们的最小公倍数不大于$M$。允许数列里没数，此时这个数列的最小公倍数为$1$。$1 \leq n,m \leq 1 \times 10^6,1 \leq A_i \leq 1 \times 10^9(1 \leq i \leq N)$。

$\color{blue}{【思路】：}$ 首先，很显然的一点是如果某个$A_i>M(1 \leq i \leq N)$，这个$A_i$是没用的。所以，$A$的范围被我们缩小了，有用的$A_i$必然满足$1 \leq A_i \leq M$。

如果所有的数都是一个数$K$的约数，那么它们的最小公倍数（即LCM）必然$\leq K$。

加上我们发现$M$不大，所以我们枚举$Q(1 \leq Q \leq M)$，表示$Q$是所有我们选出的数的约数。问题被我们转化为了求原数列中有多少个数是$Q$的约数。

总的时间复杂度为：$O(N + M \times \log M)$。

$\color{blue}{【代码】：}$

$\color{orange}{主程序：}$

$\color{blue}{【关于代码】：}$

• read()函数即快读函数，考虑到大家都会，不再给出。
• print(a,c)函数即输出一个数$a$，同时，在它后面在输出一个字符$c$。

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$\color{green}{关于数论}$

• 首先，不得不说，数论很重要。无论是哪门子OI竞赛都很喜欢考。
• 没有什么快速学懂的好方法，只有多刷多练。
• 别说什么数论只会GCD，数论的题，哪怕是$GCD$，也有很难的……

来源：CSDN

作者：ZHUYINGYE_123456

链接：https://blog.csdn.net/ZHUYINGYE_123456/article/details/104114452