§7 商群
在群中，我们定义子集合的运算：
设 A,B 是群 G 的两个子集合。定义：
AB={ab∣a∈A,b∈B}
即由 A 中元素和 B 中元素相乘所得的集合。子集乘积满足结合律：(AB)C=A(BC).
显见:若 A 为一子群，B={b}，则 AB 是子群 A 的一个右陪集。
对于任意子集合 A，定义：
A−1={a−1∣a∈A}
即由 A 中元素的逆元素组成的集合。
注：利用集合运算，我们可将定理1.4.1改写为：
群 G 中非空子集合 H 为一子群的充要条件是：HH−1⊂H.
对于正规子群，我们有如下重要事实：
定理1.7.1
设 H 为群 G 的一个子群，H 是正规子群的充要条件是：任意两个左（右）陪集之积仍为一个左（右）陪集。
证明
“⇒”
设 H 为一正规子群，Ha，Hb 是两个右陪集。则：
(Ha)(Hb)=H(aH)b=H(Ha)b=Hab.
“⇐”
设 Ha，Hb 是任意两个右陪集。由条件 (Ha)(Hb)=Hc. 显然 ab∈(Ha)(Hb)，即 ab∈Hc. 固有
(Ha)(Hb)=Hc=Hab
两边用 b−1 右乘得：
HaH=Ha.
因为 e∈H，所以aH∈HaH，即：
aH∈Ha
或
aHa−1⊂HaH,对所有的a∈G.
将 a 换为 a−1，则有
a−1Ha⊂H
从而
aHa−1=H，对所有的a∈G.
这证明了 H 为正规子群。■
令 G/H 代表正规子群 H 的全部不同的右陪集所组成的集合。
定义1.7.1（商群）
G/H 在陪集的乘法下所成的群称为 G 对正规子群 H 的 商群，仍记为 G/H。
对于正规子群，左陪集也就是右陪集，故 G/H 亦可以看作是左陪集所组成的群。
定义1.7.2（自然同态）
设 H◃G 。定义
φ(a)=Ha,
显然有
φ(ab)=Hab=HaHb=φ(a)φ(b).
因此， φ 是 G 到 G/H 的一个同态，而且是映上的。称其为群 G 到其商群的自然同态。
下面的定理进一步叙述了同态和正规子群的关系：
定理1.7.2（群同态基本定理）
设 σ:G→G′ 是一满同态 ， N 是σ 的核，则 G/N 和 G′ 同构。
证明
设 φ:G→G/N 是一自然同态。这样，有两个满同态：σ 和 φ. 要找一个同构 ψ:G/N→G′.
定义
ψ(Na)=σ(a),
因为 σ 是一满同态，即 σ(G)=G′，所以由前面的分析表明， ψ 是 G/N 到 G‘ 的一个一一对应。且有：
ψ(NaNb)=ψ(Nab)=σ(ab)=σ(a)σ(b)=ψ(Na)ψ(Nb).
故证得：ψ:G/N→G′ 是一同构，原命题证毕。■
