子群

§4 子群和陪集 为了讨论群的问题，下面我们引入子群和陪集的概念： 定义1.4.1 （子群） 若群 G G G 的非空子集合 H H H 对于 G G G 的运算也成一个群，则称 H H H 为 G G G 的子群。 定义1.4.2 （平凡/非平凡子群） 在群 G G G 中仅由单位元素 e e e 组成的子集合 { e } \{ e\} { e } 和群 G G G 本身被称为 G G G 的 平凡子群 。其余的子群被称为 非平凡子群 。 H H H 是 G G G 的子群可记为 “ H < G ” “H<G\ ” “ H < G ” 。 定理1.4.1 群 G G G 的非空子集合 H H H 是一子群的充要条件是：由 a , b ∈ H a,b\in H a , b ∈ H 推得 a b − 1 ∈ H ab^{-1} \in H a b − 1 ∈ H 。 证明 必要性显然，下证充分性： 因为 H H H 为非空集合，故至少含有一个元素，记为 a a a 。由 a , a ∈ H a,a \in H a , a ∈ H ： a a − 1 = e ∈ H . aa^{-1}=e \in H. a a − 1 = e ∈ H . 由 e , a ∈ H e,a \in H e , a ∈ H 得： e a − 1 = a − 1 ∈ H ea^{-1}=a^{-1} \in

§7 商群 在群中，我们定义子集合的运算： 设 A , B A,B A , B 是群 G G G 的两个子集合。定义： A B = { a b ∣ a ∈ A , b ∈ B } AB = \{ ab | a\in A,b \in B \} A B = { a b ∣ a ∈ A , b ∈ B } 即由 A A A 中元素和 B B B 中元素相乘所得的集合。子集乘积满足结合律： ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) ( A B ) C = A ( B C ) . 显见:若 A A A 为一子群， B = { b } B=\{b\} B = { b } ，则 A B AB A B 是子群 A A A 的一个右陪集。 对于任意子集合 A A A ，定义： A − 1 = { a − 1 ∣ a ∈ A } A^{-1} = \{ a^{-1} | a\in A \} A − 1 = { a − 1 ∣ a ∈ A } 即由 A A A 中元素的逆元素组成的集合。 注：利用集合运算，我们可将定理1.4.1改写为： 群 G G G 中非空子集合 H H H 为一子群的充要条件是： H H − 1 ⊂ H . HH^{-1} \subset H. H H − 1 ⊂ H . 对于正规子群，我们有如下重要事实： 定理1.7.1 设 H H H 为群 G G

前言：仅个人小记。素数阶群必为循环群，这个性质很重要，尤其是在密码学中，我们 总是引入素数阶的群 ，这个性质保证了我们引入的群具有循环群的一切特征，包括 交换性、具有生成元 。 前要知识 群论中的拉格朗日定理（子群的阶必然能整除群阶) 。参看 https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/100318620 素数 p 以内的正整数都与 p 互质。 素数阶群只有平凡子群 {e} 和 G ，不存在非平凡子群。证明如下： 因为群 G 的阶为素数 p，且由 前要知识2 知，素数 p以内的正整数都与 p 互质，故而 G 的子群的阶 不可能是 { 2 , 3 , . . . , p − 1 } \{2,3,...,p-1\} { 2 , 3 , . . . , p − 1 } 故而 G 的子群的阶 只有可能为 { 1 , p } \{1,p\} { 1 , p } 换言之，素数阶群 G 只可能有平凡子群 {e} 和 G ， 不存在非平凡子群 。证毕！ 证明 群 G 中的任一元素 a 都可以构建一个循环子群 H，具体为 H = { e , a , a 2 , . . . , a k } H = \{e,a,a^2,...,a^k\} H = { e , a , a 2 , . . . , a k } 由 前要知识3 知道，对于素数阶群