均值方差模型

家住魔仙堡 提交于 2019-12-21 01:35:35

今天,我们来讲一讲“均值方差模型”。

介绍模型之前,先讲一下模型诞生背后的故事。 

背后的故事

从前,有一个年轻人,叫哈里·马科维兹(Harry Markowitz),彼时他正在芝加哥大学攻读经济学博士学位,一次偶然的机会他在办公室门外等待见导师、准备讨论博士论文时遇到了一个股票经纪人,和股票经纪人的一番交谈使他的研究方向转向了证券市场。导师鼓励他对这个领域进行研究,并给他推荐了当时著名的经济学家约翰·威廉姆斯(John Williams)最出名的一本书:《投资价值理论》(The Theory of Investment Value) 。

威廉姆斯认为,证券的价格反映了其“内在价值”,而证券的价值就是其未来股息的折现价格。但马科维兹很快就发现这个理论缺少了对“风险”的分析:投资者固然要最大化预期折现收益,同时也应该考虑到收益的方差(variance)是一个不好的东西,投资者在决策过程中应该同时考虑这两个方面,并且应该这样构建一个投资组合:在“预期收益”和“收益的方差”之间做权衡取舍(trade-off)

(有点复杂,但这句话很重要...)

于是在1952年,25岁的马科维兹在The Journal of Finance这本顶级金融学期刊上发表了一篇论文,叫《证券投资组合选择》(Portfolio Selection)

这篇论文当时并没有引起很大的轰动,因为在14页的篇幅中有差不多10页都是一些数学推导证明和涂鸦,类似这样的图片你们可以感受一下:

但马科维兹的研究后来被证明是震撼性的,《证券投资选择》常常被用来和牛顿的《自然哲学的数学原理》相比较。就像是证明“不要把鸡蛋全放在一个篮子里”一样,很难把最简单的常识用数学优雅的证明出来。同时,马科维兹的理论是超前的,随着技术的发展,他的理论终于被证券市场验证,在文章发表四十年后的1990年,马科维兹因为“证券投资选择理论”而获得了诺贝尔经济学奖。  

现代投资组合理论

现代投资组合理论(Modern Portfolio Theory, MPT)就是马科维兹在1952年发表的这篇文章中首次提出的。

假设目前市场上有ABCD四种资产(比如股票、债券、期货、现金等等),它们有各自的收益率,也有各自的风险,那么投资者是应该只持有一种资产,比如资产A,还是应该持有一个投资组合包含一种以上的资产?如果是这样,投资组合中应该包含哪几种资产,各种资产又应该如何配比,才能使得的总的风险最小,但是收益最大呢?这是现代投资组合理论研究的中心问题。

这个理论包括两个重要内容:均值-方差分析和有效前沿

均值--方差分析

现代投资组合理论用均值和方差来刻画收益和风险这两个关键因素均值,指的是投资组合的期望收益率,它是单只证券的期望收益率的加权平均,权重为相应的投资比例。而方差,则是指投资组合的收益率的方差,它衡量了实际收益率和均值的背离,刻画了投资组合的风险。用公式表示就是:

协方差、相关系数又是什么?我们后面会解释。

举个例子?

假设目前市场上有四种资产ABCD,根据它们在过去一年中的表现,我们计算得到它们的年化收益率、标准差分别如下。我们打算将它们等权重持有,也就是每种资产占投资组合的25%:

 那么我们可以得到:投资组合的均值=投资组合的期望收益率=

(1% x 25%) + (5% x 25%) + (10% x 25%) + (15% x 25%) = 7.75%

计算投资组合的方差需要知道所有资产两两之间的协方差,协方差是衡量两种资产的收益率变动情况的,简单来说,是衡量两种资产的收益率是同向变化还是反向变化的,变化的程度如何。如果资产A收益率上涨的时候资产B的收益率也同时上涨,那么二者就是同向变化的,协方差为正数;如果资产A收益率上涨的时候资产B的收益率刚好下跌,那么二者就是反向变化的,协方差为负数。协方差的数值越大,二者同向(或者反向)变化的程度越大。

而相关系数就是协方差除以资产的标准差,所以也可以看成是一种标准化后的特殊的协方差。

协方差有什么作用?

作用相当大!

马科维兹发现,证券投资组合的方差不仅取决于单个资产的方差,而且还取决于各种资产之间的协方差,并且随着组合中证券数目的增加,在决定组合方差时,协方差的作用越来越大,而单个资产方差的作用越来越小,也就是说,协方差几乎成了组合方差的决定性因素

通过公式我们也可以看出来,当协方差为负数时,是可以减小组合的方差的!

在这一点上,马科维兹有两个重大贡献:

1、1+1不等于2

马科维兹提出,投资组合的风险并不是单纯的将各种资产的风险相加,而是要考虑它们之间的相关性,也就是说在这种情况下1+1并不等于2:

 决定投资组合的风险并不是资产本身的风险,而是它们之间的相互影响!而通过操纵资产间的相关性我们是可以操纵投资组合的风险,从而达到一个我们想要的收益--风险组合。

2、风险分散化

风险分散化原理被认为是现代金融学唯一的“免费午餐”(free lunch),将多项资产组合到一起,可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率。

回到我们例子中投资组合的方差的计算,假设各种资产之间的相关系数如下:

我们可以计算得到投资组合的方差=0.0016,也就是组合风险(标准差)为4.05%。

可以看到,将ABCD等权重持有在投资组合中,我们得到组合的收益率比单独持有资产A或者单独持有资产B的收益更高,风险更小!这就是组合投资的厉害之处!

那么现在问题来了,将每种资产等权重持有,是最好的选择吗?假如我想知道,在每个给定的收益水平,风险最小的投资组合是什么?我们该怎么利用均值和方差来计算呢?

有效前沿

马科维茨告诉你,你可以在有效前沿(Efficient Frontier)上找到这样的投资组合。

他是这么做的——解下面这个二次规划:

这个二次规划翻译过来,就是给定组合期望收益率,如何使组合方差最小。求解之后可以得到下面这个图:

图的横轴代表了风险,纵轴表示收益。图中每一个橙色的点代表一个投资组合,每一个组合对应了一个收益和风险。而在每一个收益水平下,风险最小的组合在哪里呢?你可以看到,正是位于蓝色这条边界上。蓝色这条线上的所有点,都是在同一个收益水平下,风险最小的组合(因为,没有比它们更靠左的点了)。

但蓝色边界上所有的点都是最好的组合吗?显然不是。我们可以看AB这两点。B点和A点相比,收益更高(更靠上),风险更小(更靠左),所以B点优于A点。

而蓝色边界上最靠左的点是B点,最靠上的点是C点,所以,BC这条边界上的点,是最优的解。给定每一个收益水平,线上的点对应的风险最小,而给定每一个风险水平,线上的点对应的收益最大。因此,马科维茨称BC这一段为有效前沿。

所以回到我们的例子,假设目前市场上有ABCD四种资产,我们知道它们的年化收益、年化波动率、相关系数,我们要如何持有它们,才能使得我们的投资组合的收益最大,风险最小呢?马科维茨告诉我们,可以用均值方差分析,找到有效前沿,那么有效前沿上的点就是最佳的组合。

我们用Atree智能资产配置系统模拟出来这个有效前沿,如下图: 

 黄色的粗线表示了有效前沿,而ABCD这四个点则代表了ABCD这四种资产本身的收益和风险水平。我们看到,相比单独持有一种资产,持有投资组合的收益更高,因为对于A点来说,它的正上方、位于有效前沿上的E点代表了相同风险水平下最高的收益;对于B点,它的正上方、位于有效前沿上的F点代表了相同风险水平下的最高收益;同样对于C点,它的正上方、位于有效前沿上的G点代表了相同风险水平下的最高收益(唯独D点比较例外,在风险水平为10%的情况下,单独持有资产D的收益最高)。

回到我们前面假设的等权重持有四种资产的组合的例子,这样的配置真的是最好的吗?答案是:非也。还记得等权重持有四种资产的组合收益和风险分别是7.75%和4.05%,对应的是图上的N点然而我们可以在有效前沿上找到更好的一点M,在相同的风险水平(4.05%)的情况下,它的收益是9.34%(>7.75%)。那么组合M的配置是怎样的呢?我们可以得到A:0%,B:47.28%,C:18.64%,D:34.07%。

所以,通过资产的均值方差分析,我们可以找到一条有效前沿,在这条有效前沿上的点就是最佳的投资组合,这些投资组合有这样的特点:给定组合收益水平,组合的风险最小;给定组合的风险水平,组合的收益最大,这就是均值方差模型的内容

来源: 智道智科

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