中国剩余定理

题目大意：求 \[ G^{\sum\limits_{d|N}\binom{n}{k}} mod\ \ 999911659 \] 题解：卢卡斯定理+中国剩余定理 利用卢卡斯定理求出指数和式对各个素模数的解，再利用中国剩余定理合并四个解即可。 也可以在枚举 N 的因子的过程中，对于计算的四个解直接进行中国剩余定理的合并，答案不变。 代码如下 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const LL mod = 999911658; const LL md[] = {2, 3, 4679, 35617}; const int maxn = 40000; LL fac[maxn]; inline LL fpow(LL a, LL b, LL c) { LL ret = 1 % c; for (; b; b >>= 1, a = a * a % c) { if (b & 1) { ret = ret * a % c; } } return ret; } inline LL comb(LL x, LL y, LL p) { if (y > x) { return 0; } return fac[x] * fpow(fac[x - y], p - 2, p) % p * fpow(fac[y], p

记录打板子的速度...（争取每周都打一轮） 数据结构： 　　并查集 　　Trie 　　可持久化Trie 　　树状数组 　　线段树 　　树链剖分 　　Splay 　　动态树 　　主席树 　　树套树 　　分块 　　点分治 　　cdq分治 　　整体二分 　　莫队 　　带修莫队 　　树上莫队 　　树上带修莫队 数学 　　线性筛 　　数论分块 　　gcd 　　exgcd 　　线性求逆元 欧拉定理 　　中国剩余定理 　　ex中国剩余定理 　　卢卡斯定理 　　莫比乌斯函数 　　0/1分数规划　　 　　欧拉函数 　　矩阵乘法 　　高斯消元 　　BSGS 　　FFT 　　NTT 　　杜教筛 图论： kruskal prim 　　tarjan-LCA 　　倍增LCA 　　基环树 　　点双 　　边双 　　缩点 　　网络流 　　费用流 来源： https://www.cnblogs.com/Hikigaya/p/11604269.html

对于 \(n\) 个方程组成的方程组组 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv A_1 (mod && B_1) \\ x\equiv A_2 (mod && B_2)\\\dots \\x\equiv A_i (mod && B_i) \end{aligned} \right. \] --- 设 \(mul=\Pi_{i=1}^{i<=n} B_i\) , \(T_i\) 为 \(M_i\) 在 \(\mod B_i\) 意义下的逆元, \(M_i=\frac{mul}{B_i}\) 则 \(ans=\sum M_i\times T_i \times A_i\) \(M_i\) 个人认为用来抵消 然后,妙啊 #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<map> #include<queue> #include<iostream> #include<cmath> //#define int long long using namespace std; inline int gi(){char tmp=getchar();int flag=1;while(tmp<'0'||tmp>'9'){if(tmp=='-'){flag=-1

中国剩余定理学习笔记。 前置技能：扩展欧几里得算法。 中国剩余定理 对于这样一个模方程组： \[ \begin{cases} x=r_1\%m_1 \\ x=r_2\%m_2 \\ ...... \\ x=r_n\%m_n \end{cases} \] 其中 \(m_1,m_2,...m_n\) 两两互质。 求 \(x\) 的最小正整数解。 定理： 有 \(M=\prod_{i=1} ^{n}m_i\) ,因为其两两互质，所以 \(M\) 为他们的最小公倍数。 \(t_i\) 为方程$ \frac M{m_i}*t_i=1(mod,m_i) $的解 很显然可以利用扩展欧几里得解出 \(t_i\) 对于当前的模方程，我们只用和上一组通解合并即可。 通解为 \(x_i=x_0+i*M\) ; 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int a[15],b[15]; void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y) { if(b)exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x; else d=a,y=0,x=1; } int main() { int n,ans=0,sum=1,d,y; scanf("%d",&n); for(int i=0; i<n; i++) scanf("

前言 话说中国剩余定理好早就会了，但是一直木有接触过拓展的。 只知道它是个什么东东。 最近似乎需要它了，稍微学了学，似乎还挺简单的。 小结一下~ 简介 中国剩余定理我们都懂吧？ 而拓展则是把它后面的模数变成一个非质数，（当然，各个方程的模数互质）。 然后求出最小的x的解。 做法 似乎拓展之后很难用原来的套路来搞了。 怎么办？ 我们发现，我们可以利用一些奇怪的推柿子大法来合并柿子。 考虑合并一下两个柿子： \(x \equiv c1 (mod\ m1)\) \(x \equiv c2 (mod\ m2)\) 转化一下： \(x=c1+m1*k1\) \(x=c2+m2*k2\) 合并、移项 \(m1*k1=c2-c1+m2*k2\) 设 \(g=gcd(m1,m2)\) 柿子两边同除g得： \(\frac{m1}g*k1=\frac{c2-c1}g+\frac{m2}g*k2\) 我们考虑转化一下： \(\frac{m1}g*k1 \equiv \frac{c2-c1}g (mod\ \frac{m2}g)\) 当然，这个时候我们发现， \(\frac{c2-c1}g\) 这条柿子一定要是整数，否则就有小数了，判断一下。 于是，现在我们已经去掉了一个k2了，但是左边依然很不优美，接下来考虑化简一波。 设 \(ny()\) 表示求逆元。 \(k1\equiv ny(\frac{m1}g

目录 中国剩余定理CRT 扩展中国剩余定理ExCRT TJOI2009 猜数字 HDU 1573 X问题 中国剩余定理CRT 中国剩余定理是用来求线性同于方程组的。 \[ \begin{aligned} \left \{ \begin{matrix} x \equiv c_1 (mod \,\,m_1 )\\ x \equiv c_2 (mod \,\,m_2 )\\ ...\\ x \equiv c_n(mod \,\, m_n) \end{matrix} \right. \end{aligned} \] 中国剩余定理是这样来的。 我们先考虑如下几个方程组： \[ \begin{aligned}\left \{ \begin{matrix} x_1 \equiv 1 (mod \,\,m_1 )\\ x_1 \equiv 0 (mod \,\,m_2 )\\...\\x_1 \equiv 0(mod \,\, m_n)\end{matrix} \right.,\left \{ \begin{matrix}x_2 \equiv 0 (mod \,\,m_1 )\\x_2 \equiv 1 (mod \,\,m_2 )\\...\\x_2 \equiv 0(mod \,\, m_n)\end{matrix} \right.,\left \{ \begin{matrix}x_n

原题 题目链接 题目分析 由题可知要求解一下方程组 (x+d)≡p(mod23) (x+d)≡e(mod28) (x+d)≡i(mod33) 很明显23 28 33互质,因此这道题只需要用 中国剩余定理的结论 求出ans-x+d,最后ans-d之后用ans=(ans%lcm(23,28,33)+lcm(23,28,33))lcm(23,28,33)取一下最小正解即可,这里要注意一下,当ans是0的时候ans=lcm(23,28,33). 代码 1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <utility> 4 #include <cstdio> 5 #include <cstdlib> 6 #include <ctime> 7 #include <cmath> 8 #include <cstring> 9 #include <string> 10 #include <vector> 11 #include <stack> 12 #include <queue> 13 #include <map> 14 #include <set> 15 16 using namespace std; 17 typedef unsigned long long ULL; 18 typedef long long LL; 19

扩展中国剩余定理（模数不互质） 洛谷P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT） #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define N 100005 ll r[N],p[N]; ll a1,a2,n1,n2; int nn; ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } ll d=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return d; } ll mul(ll a,ll x,ll mod) { ll ans=0,m=0; if(x<0) m=1,x=-x; while(x) { if(x&1) ans=(a+ans)%mod; x=x>>1; a=(a+a)%mod; } if(m) return -ans; return ans; } int main() { scanf("%d",&nn); scanf("%lld%lld",&p[1],&r[1]); //r1是前i-1个方程的解 ll r1=r[1],lcm=p[1];//一边使用n次exgcd 一边求lcm for(int i=2;i<=nn;i++) { ll x,y; scanf("%lld%lld",&p[i]

题目链接： https://www.luogu.org/problem/P3868 题意：就是裸的中国剩余定理，为了防止TLE要加上快速乘，但是要注意a[i]可能为负数，故需要对a[i]做处理：a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i]) #include<iostream> #include<cstdio> #include<vector> #include<queue> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; typedef long long lt; lt read() { lt f=1,x=0; char ss=getchar(); while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();} while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();} return x*f; } int k; lt a[20],b[20]; lt qmul(lt a,lt b,lt mod) { lt ans=0; while(b>0) { if(b&1) ans=(ans+a)%mod; a=(a+a)%mod; b>>=1; } return ans; } void exgcd(lt a,lt b,lt &x

题目链接： http://poj.org/problem?id=1006 题意：每个人的体力，情感，智力周期分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。 分析：中国剩余定理的板子题 23,28,33满足两两互质，故直接套板子即可 先上模板： //n个方程：x=a[i](mod m[i]) (0<=i<n) LL china(int n, LL *a, LL *m){ LL M = 1, ret = 0; for(int i = 0; i < n; i ++) M *= m[i]; for(int i = 0; i < n; i ++){ LL w = M / m[i]; ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M; } return (ret + M) % M; } 然后代码 #include<cstdio> typedef long long LL; const int N = 100000 + 5; void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){ if (!b)