向量叉乘

为什么 https://www.jianshu.com/p/a6b9c04e5612 (x1-x3)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y3) 如下图 通过单位向量和 sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ 两角差公式 可推出来 <0时 a在b的左边 当a在b的左边 a到b的夹角是： 360- 正向夹角。 正向夹角：通过cos 点乘公式获取的 角度 在0 - 180 之间的。 来源： https://www.cnblogs.com/sun-shadow/p/12578447.html

罗德里格斯旋转方程是从角度和向量计算出相应的旋转矩阵，这个旋转方程在很多方面有重要的应用，这里简要概述一下方程的推导过程。 主要参考资料是维基百科，其实基本上就是翻译一下，自己走一遍这个推导过程，这里把链接贴出来。 维基百科-罗德里格斯方程 推导过程： 整个推导过程都是围绕上面的图片开展的，进行向量推导。 首先，定义向量k是旋转轴的单位矢量，向量v是绕向量k旋转角度θ的任意向量（旋转方向遵循右手定则，图中逆时针）。 使用点乘和叉乘，向量v可以分解成与轴k平行和垂直的分量， $\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\parallel}+\mathbf{v}_{\bot}$ 　　　　　　　　　　 （1-1） 与k平行的分量是 $\mathbf{v}_{\parallel}=\left( \mathbf{v}\cdot \mathbf{k} \right) \mathbf{k}$ 　　 （1-2） 向量v在k上的向量投影，垂直于k的分量为 $\mathbf{v}_{\bot}=\mathbf{v}-\mathbf{v}_{\parallel}=\mathbf{v}-\left( \mathbf{k}\cdot \mathbf{v} \right) \mathbf{k}=-\mathbf{k}\times \left( \mathbf{k}\times \mathbf{v}

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式 两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量

文章目录 1.矩阵的一些基础知识 1.1 矩阵只有乘法 1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘： 1.3 单位向量 1.4 正交矩阵 1.5 线性无关和线性相关的向量 1.6 矩阵的逆 1.7 对称矩阵 1.7 矩阵的秩（rank） 1.8 伴随矩阵 1.9 矩阵的零空间 1.10 矩阵的扩展基定理 1.矩阵的一些基础知识 1.1 矩阵只有乘法 1.2 向量有点乘(也是内积)和叉乘： （1）点乘就是两个对应向量值相乘 ：得到的是一个数值 高中知道两个向量的长度解法： a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s < a , b > a · b = |a||b|cos<a,b> a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s < a , b > 如果给出两个向量的值： a = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] b = [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] a=[a_1,a_2,...,a_n] \\ b=[b_1,b_2,...,b_n] a = [ a 1 ​ , a 2 ​ , . . . , a n ​ ] b = [ b 1 ​ , b 2 ​ , . . . , b n ​ ] 则两个向量的内积： a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n ab=a_1b_1+a_2b_2+...+a

36二维向量Vector2中的静态方法 Vector2.LerpUnclampedAngle 取得夹角； Clamp Magnitude 限定长度；Distance 距离； Equals:判断两个向量是否相等 Normslize:自身单位化 Set:赋值 ToString:转变成字符串，可以进行一个格式化的输出 38关于三维向量Vector3 点乘： 根据公式： 就可以计向量a和向量b之间的夹角，从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘： 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2), 则向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2 向量a×向量b=| i j k||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1) （i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）. 叉乘的意义就是通过两个向量来确定一个新的向量,该向量与前两个向量都垂直 40使用Random生成随机数 随机数：Random.Range（4,10

向量 向量数学定义 从数学角度来看向量就是一个数字列表，对程序而言则是数组。 数学上区分向量和标量，比如“速度”和“位移”是向量，“速率”和“长度”是标量。 向量可以从维度上区分，向量可以是任意维度的。比较特殊的是标量，可以认为是一维的向量。在图形学中，经常用到的是2维、3维和4维向量。 向量可以表示为行向量和列向量。水平书写的称为行向量，比如[1, 2, 3]。垂直书写的称为列向量，比如。 向量的几何意义 一个二维向量如下图所示。由图可以看出，向量的定义有两个要素——大小和方向。向量的大小就是向量的长度（模），向量的方向描述向量在空间的中的指向。 向量所代表的位移可以考虑分解成和坐标轴平行的分量，把分量的位移组合起来就可以得到向量作为整体所代表的位移。如下图所示，向量[1, -3, 4]表示一个位移，可以将此位移想象为向右平移1个单位，向下平移3个单位，向前平移4个单位。这些步骤的执行顺序不重要，不同的顺序会得到同样的位移量。 向量和点 “点”用来描述位置，但没有大小和厚度。“向量”描述位移，有大小和方向但没有位置。 对任意的x和y，下图展示了点(x, y)和向量[x, y]之间的关联。可以看出向量[x, y]描述原点到点(x, y)的位移量。 虽然向量和点在概念上完全不一样，但在数学上等价。两个点之间的距离为从一个点到另一个点的向量长度（模），向量长度的计算在下面会提到。

高数学习笔记 第七章 向量代数与空间解析几何 本章难点 1、数量积、向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、平面与平面、直线与直线、平面与直线之间相互位置关系的判定； 4、二次曲面图形； 5、旋转曲面的方程。 本章内容 一、空间直角坐标系及向量 （一）空间两点间的距离 设空间有两点，坐标为 P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) P_1(x_1,y_1,z_1),Q(x_2,y_2,z_2) P 1 ​ ( x 1 ​ , y 1 ​ , z 1 ​ ) , Q ( x 2 ​ , y 2 ​ , z 2 ​ ) ,有： ∣ P 1 P 2 → ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 |\overrightarrow{P_1P_2}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} ∣ P 1 ​ P 2 ​ ​ ∣ = ( x 2 ​ − x 1 ​ ) 2 + ( y 2 ​ − y 1 ​ ) 2 + ( z 2 ​ − z 1 ​ ) 2 ​ 任意一点 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M ( x , y , z ) 到原点 O ( 0 , 0 , 0 ) O(0,0,0) O (

向量的内积（点乘） 定义 概括地说，向量的 内积 （点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。 注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义 ：两个向量 a 与 b 的内积为 a · b = | a || b |cos∠(a, b)，特别地， 0 · a = a · 0 = 0；若 a ， b 是非零向量，则 a 与 b****正交 的充要条件是 a · b = 0。 向量内积的性质： a ^2 ≥ 0；当 a ^2 = 0时，必有 a = 0. （正定性） a · b = b · a . （对称性） (λ a + μ b )· c = λ a · c + μ b · c ，对任意实数λ, μ成立. （线性） cos∠( a , b ) = a · b /(| a || b |). | a · b | ≤ | a || b |，等号只在 a 与 b 共线时成立. 向量内积的几何意义 内积（点乘）的几何意义包括： 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量方向上的投影 有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成： 定义向量 c ： 根据三角形余弦定理（这里a、b、c均为向量，下同）有： 根据关系 c = a - b 有： 即： a∙b=|a

矩阵运算 1. 加、减运算 运算符：“＋”和“－”分别为加、减运算符。 运算规则：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。 例1-22 >>A=[1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6] >>B=[8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2] >>A＋B=A+B >>A-Ｂ=A-B 结果显示：A+B= 9 2 7 4 7 10 5 12 8 A－B= -7 0 -5 -2 -3 -4 -3 -6 4 2. 乘法 运算符：* 运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。 1．两个矩阵相乘 例1-23 >>X= [2 3 4 5; 1 2 2 1]； >>Y=[0 1 1; 1 1 0; 0 0 1; 1 0 0]； Z=X*Y 结果显示为： Z= 8 5 6 3 3 3 2．矩阵的数乘：数乘矩阵 上例中：a=2*X 则显示：a = 4 6 8 10 2 4 4 2 向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。 数组乘法： A.*B表示A与B对应元素相乘。 3 ．向量点积 函数 dot 格式 C = dot(A,B) %若A、B为向量，则返回向量A与B的点积，A与B长度相同；若为矩阵，则A与B有相同的维数。 C = dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积

在做双目立体视觉深度图像生成的时候，遇到旋转向量（1x3）与旋转矩阵（3x3）的概念，得知二者可以通过罗德里格斯相互转化。 1.旋转的表示 处理三维旋转问题时，通常采用旋转矩阵的方式来描述旋转变换。旋转矩阵有以下两种方式得到。 物体在三维空间中的旋转，可以被分为解为在直接坐标系下，分别先后围绕x,y,z坐标轴旋转得到。旋转的角度也就是我们常听到的角度roll，pitch，yew。如果已知这几个角度，就可以直接通过每一步的矩阵相乘得到整个旋转矩阵。 R=R(yaw)R(pitch)R(roll) R=R(yaw)R(pitch)R(roll) 旋转矩阵还可以理解为围绕空间中某一个向量，直接一次旋转某一个角度得到。在openCV相机标定时得到的旋转向量就是用这种方式。即由旋转变量来描述。 2.旋转向量得到旋转矩阵 旋转向量的长度（模）表示绕轴逆时针旋转的角度（弧度）。旋转向量与旋转矩阵可以通过罗德里格斯（Rodrigues）变换进行转换。 旋转角度 （norm表示求向量r的模长） 单位向量 旋转矩阵 其中为单位矩阵，为的转置。 所以 3.根据旋转向量求另一个旋转向量 用表示待旋转的向量，为旋转向量的单位向量，为旋转角，旋转后的向量可以表示为 4.根据两个旋转向量求旋转矩阵 （1）旋转角度 已知旋转前向量为P, 旋转后变为Q。由点积定义可知： 可推出P，Q之间的夹角为： （2）旋转轴