自我高数学习笔记——知识点

高数学习笔记

第七章 向量代数与空间解析几何

本章难点

1、数量积、向量积的运算；
2、平面方程和直线方程及其求法；
3、平面与平面、直线与直线、平面与直线之间相互位置关系的判定；
4、二次曲面图形；
5、旋转曲面的方程。

本章内容

一、空间直角坐标系及向量

（一）空间两点间的距离

设空间有两点，坐标为$P_1(x_1,y_1,z_1),Q(x_2,y_2,z_2)$,有：$|\overrightarrow{P_1P_2}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$
任意一点$M(x,y,z)$到原点$O(0,0,0)$的距离为$|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

（二）向量的概念

向量的表示$\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$；
向量的模$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$；
向量的方向角$\alpha,\beta,\gamma$，它们分别表示向量$|\overrightarrow{a}|$与三个坐标轴正方向的夹角；
向量的方向余弦$cos\alpha=\frac x {\sqrt{x^2+y^2+z^2}},cos\beta=\frac y {\sqrt{x^2+y^2+z^2}}，cos\gamma=\frac z {\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
向量的单位向量$\overrightarrow{a}^0=\frac {\overrightarrow{a}} {|\overrightarrow{a}|}=\frac 1 {\overrightarrow{a}}\{a_x,a_y,a_z\}=\{cos\alpha,cos\beta,cos\gamma\}$
向量的方向余弦有性质：$cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1$

二、向量的运算

设$\overrightarrow{a}=\{x_1,y_1,z_1\},\overrightarrow{b}=\{x_2,y_2,z_2\}$

（一）加减法

$\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}=\{x_1\pm x_2,y_1\pm y_2,z_1\pm z_2\}$

（二）数乘

$\lambda \overrightarrow{a}=\{\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1\}$

（三）数量积（点乘）

1.$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|cos\theta$,其中$\theta$为$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$的夹角
2.若$\overrightarrow{a}=\{a_1,a_2,a_3\},\overrightarrow{b}=\{b_1,b_2,b_3\}$,$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$,且$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2$

（四）向量积（叉乘）

1.模：$|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| sin \theta$
2.方向：如果$\overrightarrow{a}$不平行与$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$同时垂直于$\overrightarrow{a}$与垂直于$\overrightarrow{a}$，或者等价地$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$垂直于由$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$确定的一个平面，且符合右手定则。
3.坐标运算：如果$\overrightarrow{a}=\{a_1,a_2,a_3\}$,$\overrightarrow{b}=\{b_1,b_2,b_3\}$那么$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} &\overrightarrow{k}\\ a_1 & a_2 &a_3\\b_1& b_2& b_3 \end{vmatrix}.$
4.若$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$非零，$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Harr\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\Harr\frac{a_1}{a_2}={b_1 \over b_2}={c_1 \over c_2}$.
规定：在上式中若分母为零，则分子也为零，列如，当$b_1=0$时,$a_1=0$。
5.$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$,$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$
6.$|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|$的几何意义：若$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$为非零向量，则$|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|$在几何上表示，以$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$为邻边的平面四边形的面积。即平面四边形$ABCD$的面积$S_{\triangle ABCD}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$。
$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}={1\over2}|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{}|$。
7.向量$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影$proj_a(b)={\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\over|\overrightarrow{a}|}$

三、平面及其方程

（一）点法式方程

已知平面$\pi$过$M(x_0,y_0,z_0)$.其法向量$\overrightarrow{n}=\{A,B,C\}$
则平面方程为$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

（二）一般式方程

$Ax+By+Cy+D=0$
其中$A,B,C$不全为零，$\overrightarrow{n}=\{A,B,C\}$是平面$\pi$的法向量。
特别情形：
$Ax+By+Cz=0$，表示通过远点的平面；
$Ax+By+D=0$，表示平行于0轴的平面；
$Ax+D=0$，表示平行$yOz$平面的平面；
$x=0$表示$yOz$平面。

（三）三点式方程

设$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$C(x_3,y_3,z_3)$三点不在一条直线上。则通过$A,B,C$的平面方程为$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1&z-z_1 \\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1 \end{vmatrix}=0$

（四）平面束

设直线$L$的一般式方程为$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$，则通过直线$L$的任一平面方程为$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,\lambda\in R$（除第二平面以外）

（五）平面间的位置关系

设两平面为${\pi}_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 , \pi_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

垂直条件	$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
平行条件	${A_1\over A_2}={B_!\over B_2}={C_1\over C_2}(\not ={D_1\over D_2})$
重合条件	${A_1\over A_2}={B_!\over B_2}={C_1\over C_2}={D_1\over D_2}$

（六）点到平面的距离

设平面$\pi$的方程为$Ax+By+Cz+D=0$,而点$M(x_1,y_1,z_1)$为平面$\pi$外的一点，则点$M$到平面$\pi$的距离为$d=|{{Ax_1+By_1+Cz_1+D}\over{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}|$

四、直线及其方程

（一）点向式方程（对称式方程）

${x-x_0\over i}={y-y_0\over m}={z-z_0\over n}$
其中$M(x_0,y_0,z_0)$为直线$L$上的一点，$s=\{i.m.n\}$为直线$L$的方向向量。

（二）参数式方程

$\begin{cases} x=x_0+it\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt \end{cases}$

（三）两点式方程

设$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$为不同的两点，则通过$A$和$B$的直线方程为
${x-x_1\over x_2-x_1}={y-y_1\over y_2-y_1}={z-z_1\over z_2-z_1}$

（四）一般式方程

$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases},\overrightarrow{s}=\{A_1,B_1,C_1\}\times\{A_2,B_2,C_2\}$

（五）直线间的位置关系

设两直线为$L_1:{x-x_1\over i_1}={y-y_1\over m_1}={z-z_1\over n_1},L_2:{x-x_2\over i_2}={y-y_2\over m_2}={z-z_2\over n_2}.$

垂直条件	$i_1i_2+m_1m_2+n_1n_2=0$
平行条件	${i_1\over i_2}={m_1\over m_2}={n_1\over n_2}$

（六）平面与直线的位置关系

设平面$\pi$为$Ax+By+Cz+D=0$,直线$L$为${x-x_0\over i}={y-y_0\over m}={z-z_0\over n}$

$L$与$\pi$垂直条件	${A\over i}={B\over m}={C\over n}$
$L$与$\pi$平行条件	${Ai+Bm+Cn=0}$
$L$与$\pi$重合条件	${Ai+Bm+Cn=0}$且$L$上的点$M(x_0,y_0,z_0)$

五、常见的空间曲面

（一）球面

设球心为$P_0(x_0,y_0,z_0)$，球半径为$R$，在球面上任取一点$P(x,y,z)$，因为$|P_0P|=R$.所以有$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}=R^2$，即$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$

（二）柱面

动直线$L$沿已知曲线$C$平行移动所形成的曲面称为柱面。其中动直线称为柱面的母线，定曲线称为柱面的准线。
方程$F(x,y)=0$表示母线平行于$z$轴，准线为 $\begin{cases} F(x,y)=0\\ z=0 \end{cases}$的柱面方程；
方程$F(y,z)=0$表示母线平行于$x$轴，准线为 $\begin{cases} F(y,z)=0\\ x=0 \end{cases}$的柱面方程；
方程$F(z,x)=0$表示母线平行于$y$轴，准线为 $\begin{cases} F(z,x)=0\\ y=0 \end{cases}$的柱面方程；

（三）旋转曲面

曲线$C$在$yOz$平面上，方程为$\begin{cases} F(y,z)=0\\ x=0 \end{cases}$，将$C$绕$z$轴旋转一周而生成一旋转曲面，方程为$F(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$
平面曲线$\begin{cases} F(y,z)=0\\ x=0 \end{cases}$绕$z$轴旋转而得的旋转曲面方程为$F(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$.即在方程$F(y,z)=0$中，$z$不变，将$y$换成$\pm \sqrt{x^2+y^2}$即可

来源：CSDN

作者：緣啶③玍

链接：https://blog.csdn.net/qq_45245348/article/details/104255205