欧拉定理

题目 传送门 思路 挺好的一道拓展欧拉定理的板子题 我们已知 \(a^b\%m=a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\%m\) 当然此时 \(b>=\varphi(m)\) 也就是说，我们可以从上至下的一层一层的算， 但是每一层的模数是不一样的 具体来说第i层的模数是 \(\varphi\varphi... m\) ,i-1个 \(\varphi\) \(a^{b^c}\%m=a^{b^{c\%\varphi(\varphi(m))+\varphi(\varphi(m))}\%\varphi(m)+\varphi(m)}\%m\) 代码 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int tot; long long mod; long long n; long long a[15]; long long ex_oular(long long x,long long mod) { if(x>=mod) return x=x%mod+mod; else return x; } long long qkpow(long long a,long long b,long long mod) { if(b==0) return 1; if(b==1) return a; long long t

数学知识目录 已经完成的条目会加上链接 加上颜色但是没有链接的是还没码完的 我太菜了，我爆了，退役快乐。 组合数学 各种题型技巧（初赛） 卡特兰数 Lucas定理 数论 gcd及exgcd及线性同余方程相关 逆元 素数筛 \(\color{coral}{ok}\) 费马小定理 Miller-Rabin素数测试（看脸）* 中国剩余定理（CRT) EXCRT 欧拉定理及欧拉函数筛法 拓展欧拉定理 概率* 矩阵（刷公开课就行了啊喂） Gauss-Jordan消元 \(\color{#006666}{ok}\) Mtrix-tree* 矩阵加速 博弈论 SG函数 不知道是什么但是感觉很厉害的东西* FFT&FNTT 卷积* 平面凸包 旋转卡壳* 来源： https://www.cnblogs.com/thornblog/p/11891027.html

题目链接： https://vjudge.net/problem/POJ-3696 题目大意：给定一个数L，问是否存在这样的kL=88...888，求最小的全是8的数的长度，如果无法构造，输出0 题解思路： 全是8的数可以表示为 分离分母之后等式变为： 而 是99999这样的数，是9的倍数，要让这个等式成立，唯一分解后的L中质因子2的数量必然小于等于3，如果小于3，就把左右两式子中这部分约去，可得： gcd变形可得: 设p= q= 等式为： ，其中p和q互质,且p<q 要让等式成立则必有： 其中k,m,x为未知量，要消去m,x对等式的影响，可以同时对一个已知的数取模 可得： 移项得： 由欧拉定理可知： (10和q互质) 如果 则 必然无解，输出0 如果互质的话，那么10的指数在 mod q 的条件下的循环节的上限就是 我们需要枚举所有 的因子，挑出最小的满足 的因子 在实现上需要注意的是这里的q会非常大，相对的其欧拉函数也会比较大，需在mod q意义下快速幂计算10^k，并且这里为了防止爆longlong，要手写快速乘。 #include <iostream> #include <vector> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <map> using namespace std;

欧拉定理：a^x 1(mod m),那么 x = euler(m); The Luckist Number 题意：输入一个n，求能够整除n只由8组成的数的最小的位数； 思路：题目等价于满足（10^x - 1）/ 9 * 8 == n * p，其中p为整数，的x的最小值，n的范围2 * 10 ^ 9； 刚开始的时候，想直接把1，11，111，1111，……打一个表打到2*10^9，之后对输入的n进行除2,觉得除完除完之后就剩下了1，11，111，之类的数；然后再判断符合数组的哪个数，输出这个数的位数；然而，对于一个样例，就把这个想法推翻了，如输入3 的时候，输出的是3，因为888%3 == 0,所以不能采用这种方法，还是得重新推； 推导分析： （10^x - 1）/ 9 * 8 == n * p ; 则10^x - 1 == n * p / 8 * 9; l令m == 9*n / gcd(n,8); 那么（10^x - 1）== m * p' ; 可以得到10 ^ x 1 (mod m); 可以知道，当m 和 10不互质的时候，肯定不符合答案； 然后x == euler(m),然后答案就是满足这个方程的是euler(m)的因数的最小的值； 在找满足方程的euler(m)的最小因数的时候为了防止超时，可以从访问到一半的位置，之后再进行除法进而判断后面的数的情况； #include

题意： Bob最喜欢的数字是8，他的幸运数字是能整除L的全8序列的最短长度。 请找到Bob的幸运数字，若无则输出0 例如：L=1，ans=1；L=2，ans=1；L=8，ans=1；L=11，ans=2. 分析： 注意到凡是那种1111111..... 2222222..... 33333..... 之类的序列都可用这个式子来表示：k*(10^n-1)/9 进而简化： 8 * (10^n-1)/9=L * k (k是一个整数) -->8 * (10^n-1)=9L * -->d=gcd(8,L) 8*(10^n-1)/d=9k * L/d -->令p=8/d q=9kL/d p*(10^n-1)=q --->因为p,q互质， 10^n=1 mod q 由欧拉定理可知，当q与10互质的时候，10^(phi(q))=1 mod q 所以无解的时候就是q与10不互质的时候，此外我们求phi(q)的所有因子，按小到大排序，第一个满足10^x =1 mod q的输出。 3696 Accepted 704K 188MS G++ 1172B #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<cmath> #define LL long long using namespace

Problem 1759 Super A^B mod C Accept: 1682 Submit: 5719 Time Limit: 1000 mSec Memory Limit : 32768 KB Problem Description Given A,B,C, You should quickly calculate the result of A^B mod C. (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000). Input There are multiply testcases. Each testcase, there is one line contains three integers A, B and C, separated by a single space. Output For each testcase, output an integer, denotes the result of A^B mod C. Sample Input 3 2 4 2 10 1000 Sample Output 1 24 a^b mod c = ? b<=10^1000000，超级大数了，a,c均为long long范围内。 因为数据很大所以本题用降幂公式，嘛我的菜鸡水平也只能直接套公式了嘤 降幂公式 φ(m)（phi哈哈哈哈是这个音来着

题意： 求最小T，满足L的倍数且都由8组成，求长度； 思路： 很强势的福利： 点 图片拿出去食用更优 //#include<bits/stdc++.h> #include<cstdio> #include<math.h> #include<string.h> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; LL eluer(LL n) { LL res=n,a=n; for(LL i=2;i*i<=a;i++) if(a%i==0) { res=res/i*(i-1); while(a%i==0) a/=i; } if(a>1) res=res/a*(a-1); return res; } LL multi(LL x,LL y,LL mod) { LL ans=0; while(y) { if(y&1) ans=(ans+x)%mod; x=(x<<1)%mod; y>>=1; } return ans; } LL quickmul(LL x,LL g,LL mod) { LL ans=1; while(g) { if(g&1) ans=multi(ans,x,mod)%mod; x=multi(x,x,mod)%mod; g>>=1; } return ans; } int main() { int

Description Chinese people think of '8' as the lucky digit. Bob also likes digit '8'. Moreover, Bob has his own lucky number L . Now he wants to construct his luckiest number which is the minimum among all positive integers that are a multiple of L and consist of only digit '8'. Input The input consists of multiple test cases. Each test case contains exactly one line containing L (1 ≤ L ≤ 2,000,000,000). The last test case is followed by a line containing a zero. Output For each test case, print a line containing the test case number( beginning with 1) followed by a integer which is the length

欧拉函数、欧拉定理和费马小定理 对于正整数n，欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目，表示为φ（n）。 性质1：对于素数p，φ（p）=p-1。 性质2：对于两个互质数p，q，φ（pq）=φ（p）*φ（q）=（p-1）（q-1）。（积性函数）（易证） 性质3：若n是质数p的k次幂，φ（n）=p k -p k-1 =（p-1）p k-1 ，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 性质4： 因为：x可以分解成p1 q1 ×p2 q2 ×p3 q3 ……×pn qn （pi为x的质因数） 因为pi qi 两两互质，所以：φ（x）=φ（p1 q1 ）×φ（p2 q2 ）×φ（p3 q3 ）……×φ（pn qn ） （性质2） 所以：φ（x）=（p1 q1 -p1 q1-1 ）×（p2 q2 -p2 q2-1 ）×（p3 q3 -p3 q3-1 ）……×（pn qn -pn qn-1 ） （性质3） 提取x即得到公式。 性质5：n=Σφ（d|n） yu大有个牛逼的证法，把1到n的所有数除以n，变成n个既约分数，分母d只可能是n的约数。并且，以d为分母的分数个数正好是φ（d）。因此，分数总数n=Σφ（d|n）。 欧拉定理： 对于互质的正整数a和n，有 证明： ( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, …, xφ(n)} （mod n）， S = {a * x1, a * x2, …

如有乱码，请 点击 。 题目背景 出题人也想写有趣的题面，可惜并没有能力。 题目描述 给你三个正整数， a,m,b a , m , b，你需要求： a^b \bmod m a b m o d m 输入格式 一行三个整数， a,m,b a , m , b 输出格式 一个整数表示答案 输入输出样例 输入 #1 复制 2 7 4 输出 #1 复制 2 输入 #2 复制 998244353 12345 98765472103312450233333333333 输出 #2 复制 5333 说明/提示 注意输入格式， a,m,b a , m , b 依次代表的是底数、模数和次数 样例1解释： 2^4 \bmod 7 = 2 2 4 m o d 7 = 2 输出 2 数据范围： 对于全部数据： 1≤a≤10^9 1 ≤ a ≤ 1 0 9 1≤b≤10^{20000000} 1 ≤ b ≤ 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1≤m≤10^8 1 ≤ m ≤ 1 0 8 #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<queue> using namespace std; int a,b,m,temp,phi,ans=1; bool flag