多元函数

多元函数是一元函数的推广，对于多元函数我们将着重讨论二元函数. 定义域的变化：数轴上的点集 平面上的点集 点与点集的关系：内点，外点，界点；聚点，孤立点，外点. 上的完备性定理 平面点列收敛的定义 设 为平面点列， 为一固定点.若对任给的正数 ，存在正整数N，使得当n>N时，有 ,则称点列{Pn}收敛于点P哦，记作 或 柯西准则 平面点列{Pn}收敛的充要条件是：任给正数 ，存在正整数N，使得当n>N时，对一切正整数p，都有 闭域套定理 设{Dn}是 中的闭域列，它满足： 则存在唯一的点 推论 对上述闭域套{Dn}，任给 ，存在 ，当n>N时，有 聚点定理 设 为有界无限点集，则E在 中至少有一个聚点. 致密性定理 有界无限点列 必存在收敛子列 有界覆盖定理 设 为一有界闭域， 为一开域族，它覆盖了D（即 ）则在 中必存在有限个开域 它们同样覆盖了D（即 ）. 二元函数的极限 二元函数极限的定义 设f为定义在 上的二元函数，Po为D的一个聚点，A是一个确定的实数.若对任给正数 那个村，总存在某正数 ，使得当 时，都有 则称f在D上当 时以A为极限，记作 在对于 不致产生误解时，也可简单地写作 当 分别用坐标 表示时，也可写作 的充要条件是：对于D的任一子集E，只要Po是E的聚点，就有 设 ,Po是 的聚点，若 不存在，则 也不存在. 设 ,Po是它们的聚点，若存在极限 但 则

这篇记录的内容来自于Andrew Ng教授在coursera网站上的授课。 1.多元线性回归(multivariate linear regression)： h函数：$h_{\theta}{(x)}=\theta_{0}+\sum_{i=1}^{n}{\theta_{i}x_{i}}$ 为方便起见，每个样本的维度都设为n+1维，每一维都向后延一位，第一维是1。 则$$h_{\theta}{(x)}=\sum_{i=0}^{n}{\theta_{i}x_{i}}$$ $$h_{\theta}{(x)}={\theta}^{T}x$$ J函数为平方误差函数。 最小化$\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}{(h_{\theta}(x^{(i)}-y^{(i)})^2}$。 多元线性回归的梯度下降法： $\theta_{i}:=\theta_{i}-\alpha\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m}{(h_{\theta}(x^{(j)}-y^{(j)})}x^{(j)}_{i}$ 来源： https://www.cnblogs.com/GreenDuck/p/12310579.html

定积分的近似计算 定积分应用相关公式 空间解析几何和向量代数 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用 方向导数与梯度 多元函数的极值及其求法 来源： https://www.cnblogs.com/SkystarX/p/12285986.html

多元函数求极限： 原则： 就一个原则：除了洛必达法则，基本上一元函数能用的求极限的方法几乎都能在多元函数上使用 。 ========= 例1 使用了无穷小替换 ========= 例2 二元初等函数在定义域连续，所以极限同样可以直接代入 ========= 例3 同样也可以分子分母有理化 ========= 例4 同样也可以使用两个重要极限 ========= 例5 同样也能够使用夹逼准则 讨论函数 在（0,0）处的连续性 解： 先求极限 因为 所以由夹逼准则知道 因此连续 ========= 来源： https://www.cnblogs.com/Hqx-curiosity/p/12249961.html

第四十节：方程确组定多元函数组求偏导的方法，方向导数的定义 第四十一节：方向导数存在的充分条件，方向导数的最大值与最小值 第四十二节：方向导数的例题，多元函数的极值，取到极值的必要条件 第四十三节：取到极值的充分条件，多元函数的最大值与最小值，多元函数的条件极值 第四十四节：拉格朗日乘数法，例题，空间曲线的切线与法平面 第四十五节：空间曲面的切平面与法线方程，一般式空间曲线的切线与法平面的方程 多元函数微分学总结与拓展 来源： CSDN 作者： Major_s 链接： https://blog.csdn.net/qq_41375318/article/details/103729095

Hessian矩阵与多元函数极值 海塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵。虽然它是一个具有悠久历史的数学成果。可是在机器学习和图像处理（比如SIFT和SURF特征检測）中，我们也经常遇到它。所以本文就来向读者道一道Hessian Matrix的来龙去脉。本文的主要内容包括： 多元函数极值问题 泰勒展开式与Hessian矩阵 多元函数极值问题 回忆一下我们是怎样处理一元函数求极值问题的。 比如。 f ( x ) = x 2 ，我们会先求一阶导数，即 f ′ ( x ) = 2 x ，依据费马定理极值点处的一阶导数一定等于 0 。但这仅是一个必要条件。而非充分条件。对于 f ( x ) = x 2 来说，函数的确在一阶导数为零的点取得了极值，可是对于 f ( x ) = x 3 来说，显然只检查一阶导数是不足以下定论的。 这时我们须要再求一次导，假设二阶导数 f ″ < 0 ，那么说明函数在该点取得局部极大值；假设二阶导数 f ″ > 0 ，则说明函数在该点取得局部极小值；假设 f ″ = 0 。则结果仍然是不确定的，我们就不得不再通过其它方式来确定函数的极值性。 假设要在多元函数中求极值点，方法与此相似。 作为一个演示样例。最好还是用一个三元函数 f = f ( x , y , z ) 来作为演示样例

导言 最优化问题在机器学习中有非常重要的地位，很多机器学习算法最后都归结为求解最优化问题。在各种最优化算法中，梯度下降法是最简单、最常见的一种，在深度学习的训练中被广为使用。在本文中， SIGAI 将为大家系统的讲述梯度下降法的原理和实现细节问题。 最优化问题是求解函数极值的问题，包括极大值和极小值。相信所有的读者对这个问题都不陌生，在初中时我们就学会了求解二次函数的极值（抛物线的顶点），高中时学习了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数等各种类型的函数，求函数极值的题更是频频出现。这些方法都采用了各种各样的技巧，没有一个统一的方案。 真正的飞跃发生在大学时，微积分为我们求函数的极值提供了一个统一的思路：找函数的导数等于0的点，因为在极值点处，导数必定为0。这样，只要函数的可导的，我们就可以用这个万能的方法解决问题，幸运的是，在实际应用中我们遇到的函数基本上都是可导的。 在机器学习之类的实际应用中，我们一般将最优化问题统一表述为求解函数的极小值问题，即： 其中x称为优化变量，f称为目标函数。极大值问题可以转换成极小值问题来求解，只需要将目标函数加上负号即可： 有些时候会对优化变量x有约束，包括等式约束和不等式约束，它们定义了优化变量的可行域，即满足约束条件的点构成的集合。在这里我们先不考虑带约束条件的问题。 一个优化问题的全局极小值是指对于可行域里所有的x，有：

一、多元分类 1.1 数据集 本次实现的是手写数字的识别，数据集中有5000个样本，其中每个样本是20*20像素的一张图片，每个像素都用一个点数来表示，该点数表示这个位置的灰度，将20*20的像素网络展开为400维向量，而训练集中的5000*400的矩阵，每一行就代表了一个手写数字图像的灰度值。 训练集的第二部分是5000维向量y，包含训练集的标签，为了与没有0索引的MATLAB索引兼容，我们将数字零映射到10，因此，\ 0“数字被标记为\ 10”，而数字\ 1“至\ 9”则按照其自然顺序被标记为\ 1“至\ 9”。 1.2 可视化数据 可视化数据的代码已经完成，运行可以看到随机从数据集中挑选出来的100个数字 数据可视化函数： function [h, display_array] = displayData(X, example_width) %DISPLAYDATA Display 2D data in a nice grid % [h, display_array] = DISPLAYDATA(X, example_width) displays 2D data % stored in X in a nice grid. It returns the figure handle h and the % displayed array if requested. % Set

课程内容 预备知识 线性规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法 工程应用优化 预备知识 最优化问题 多元函数的Taylor公式 多元函数极值问题 凸集、凸函数和凸优化 算法相关概念 算法概述 最优化问题 数学表示 \[minf(x)\\s.t \quad c(x)\ge 0\] \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\) 是一个包含多变量的向量：决策变量 \(c(x)\) 是对各个变量约束的等式和不等式：约束条件 可行域：约束条件在空间围成的区域 可行解：可行域中每个点都是原问题的可行点 \(f(x)\) ：目标函数 最优解：能使目标函数达到最大或最小的可行解 分类 按约束 无约束 有约束 等式约束 不等式约束 按目标函数 线性规划 非线性规划 按函数变量 整数规划 非整数规划 按目标函数个数 单目标优化 多目标优化 多元函数的Taylor公式 多元函数的梯度 偏导 ：多元函数降维时的变化，比如二元函数固定 \(y\) ，只让 \(x\) 单独变化，从而看成关于 \(x\) 的一元函数的变化 \[f_x(x,y)=lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\] 记作 \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) 梯度 ：多元函数在 \(A\)