多元函数


Hessian矩阵与多元函数极值

旧时模样 提交于 2019-12-22 11:32:09
Hessian矩阵与多元函数极值 海塞矩阵(Hessian Matrix),又译作海森矩阵,是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵。虽然它是一个具有悠久历史的数学成果。可是在机器学习和图像处理(比如SIFT和SURF特征检測)中,我们也经常遇到它。所以本文就来向读者道一道Hessian Matrix的来龙去脉。本文的主要内容包括: 多元函数极值问题 泰勒展开式与Hessian矩阵 多元函数极值问题 回忆一下我们是怎样处理一元函数求极值问题的。 比如。 f ( x ) = x 2 ,我们会先求一阶导数,即 f ′ ( x ) = 2 x ,依据费马定理极值点处的一阶导数一定等于 0 。但这仅是一个必要条件。而非充分条件。对于 f ( x ) = x 2 来说,函数的确在一阶导数为零的点取得了极值,可是对于 f ( x ) = x 3 来说,显然只检查一阶导数是不足以下定论的。 这时我们须要再求一次导,假设二阶导数 f ″ < 0 ,那么说明函数在该点取得局部极大值;假设二阶导数 f ″ > 0 ,则说明函数在该点取得局部极小值;假设 f ″ = 0 。则结果仍然是不确定的,我们就不得不再通过其它方式来确定函数的极值性。 假设要在多元函数中求极值点,方法与此相似。 作为一个演示样例。最好还是用一个三元函数 f = f ( x , y , z ) 来作为演示样例

理解梯度下降法

匿名 (未验证) 提交于 2019-12-03 00:30:01
导言 最优化问题在机器学习中有非常重要的地位,很多机器学习算法最后都归结为求解最优化问题。在各种最优化算法中,梯度下降法是最简单、最常见的一种,在深度学习的训练中被广为使用。在本文中, SIGAI 将为大家系统的讲述梯度下降法的原理和实现细节问题。 最优化问题是求解函数极值的问题,包括极大值和极小值。相信所有的读者对这个问题都不陌生,在初中时我们就学会了求解二次函数的极值(抛物线的顶点),高中时学习了幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数等各种类型的函数,求函数极值的题更是频频出现。这些方法都采用了各种各样的技巧,没有一个统一的方案。 真正的飞跃发生在大学时,微积分为我们求函数的极值提供了一个统一的思路:找函数的导数等于0的点,因为在极值点处,导数必定为0。这样,只要函数的可导的,我们就可以用这个万能的方法解决问题,幸运的是,在实际应用中我们遇到的函数基本上都是可导的。 在机器学习之类的实际应用中,我们一般将最优化问题统一表述为求解函数的极小值问题,即: 其中x称为优化变量,f称为目标函数。极大值问题可以转换成极小值问题来求解,只需要将目标函数加上负号即可: 有些时候会对优化变量x有约束,包括等式约束和不等式约束,它们定义了优化变量的可行域,即满足约束条件的点构成的集合。在这里我们先不考虑带约束条件的问题。 一个优化问题的全局极小值是指对于可行域里所有的x,有:

编程作业ex3:多元分类与神经网络

假装没事ソ 提交于 2019-12-01 10:23:25
一、多元分类 1.1 数据集 本次实现的是手写数字的识别,数据集中有5000个样本,其中每个样本是20*20像素的一张图片,每个像素都用一个点数来表示,该点数表示这个位置的灰度,将20*20的像素网络展开为400维向量,而训练集中的5000*400的矩阵,每一行就代表了一个手写数字图像的灰度值。 训练集的第二部分是5000维向量y,包含训练集的标签,为了与没有0索引的MATLAB索引兼容,我们将数字零映射到10,因此,\ 0“数字被标记为\ 10”,而数字\ 1“至\ 9”则按照其自然顺序被标记为\ 1“至\ 9”。 1.2 可视化数据 可视化数据的代码已经完成,运行可以看到随机从数据集中挑选出来的100个数字 数据可视化函数: function [h, display_array] = displayData(X, example_width) %DISPLAYDATA Display 2D data in a nice grid % [h, display_array] = DISPLAYDATA(X, example_width) displays 2D data % stored in X in a nice grid. It returns the figure handle h and the % displayed array if requested. % Set

最优化理论与技术(一)

╄→尐↘猪︶ㄣ 提交于 2019-11-30 06:20:49
课程内容 预备知识 线性规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法 工程应用优化 预备知识 最优化问题 多元函数的Taylor公式 多元函数极值问题 凸集、凸函数和凸优化 算法相关概念 算法概述 最优化问题 数学表示 \[minf(x)\\s.t \quad c(x)\ge 0\] \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\) 是一个包含多变量的向量:决策变量 \(c(x)\) 是对各个变量约束的等式和不等式:约束条件 可行域:约束条件在空间围成的区域 可行解:可行域中每个点都是原问题的可行点 \(f(x)\) :目标函数 最优解:能使目标函数达到最大或最小的可行解 分类 按约束 无约束 有约束 等式约束 不等式约束 按目标函数 线性规划 非线性规划 按函数变量 整数规划 非整数规划 按目标函数个数 单目标优化 多目标优化 多元函数的Taylor公式 多元函数的梯度 偏导 :多元函数降维时的变化,比如二元函数固定 \(y\) ,只让 \(x\) 单独变化,从而看成关于 \(x\) 的一元函数的变化 \[f_x(x,y)=lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\] 记作 \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\) 梯度 :多元函数在 \(A\)

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