中国剩余定理及其扩展

$m_{1}, m_{2}, m_{3} \dots m_{n}$ 两两互素，有同余方程组：

{\begin{cases} x \equiv a_{1} (m o d m_{1}) \\ x \equiv a_{2} (m o d m_{2}) \\ x \equiv a_{n} (m o d m_{n}) \end{cases}

求最小的满足方程的

x

。

由于网上对中国剩余定理的基本概念讲述的差不多了，这里就直接进入正题。

为了方便后面的描述，我们定义 $M = \prod_{i = 1}^{n} m_{i}, w_{i} = \frac{M}{m_{i}}$ （这个定义不用于后面的扩展中国剩余定理和其它情况）。

我们的目的是想对于每一个方程找出一个比较特殊的 $p_{i}$ ，使得 $p_{i} \equiv a_{i} m o d m_{i}$ ，且 $p_{i} \equiv 0 m o d m_{j} (j \neq i)$ ，因为求出所有的 $p_{i}$ 后， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} m o d M$ 就是我们的答案 $x$ 。

观察 $p_{i}$ 的限制，可以发现 $p_{i}$ 应该为除了 $m_{i}$ 以外的模数的最小公倍数（因为所有 $m_{i}$ 互质，所以也就是 $w_{i}$ ）的倍数，所以我们只需找到一个 $p_{i}$ 使得 $p_{i} = k_{i} w_{i}$ （ $k_{i}$ 为任意整数），且 $p_{i} \equiv a_{i} m o d m_{i}$ ，那么这个 $p_{i}$ 就是我们需要的。但是 $p_{i} \equiv a_{i} m o d m_{i}$ 这个式子并不特殊，我们需要找一些更方便求解的式子来替换它。思考一下可以发现，其实我们只需要找到在满足 $p_{i} = k_{i} w_{i}$ 的条件下，使得 $p_{i} \equiv 1 m o d m_{i}$ 的数，把 $p_{i}$ 乘上 $a_{i}$ ，就得到我们想要的 $p_{i}$ 。

现在的问题就是如何找到满足条件的 $k_{i}$ ，观察式子 $k_{i} w_{i} \equiv 1 m o d m_{i}$ ，可以看到 $k_{i}$ 实际上是 $w_{i}$ 在模 $m_{i}$ 意义下的逆元，所以：

p_{i} = a_{i} \times w_{i} \times k_{i} = a_{i} \times w_{i} \times w_{i}^{1}

到这里，我们就成功得出了中国剩余定理的公式：

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中国剩余定理