DP-树形DP-luogu2015-二叉苹果树

题目大意

一棵二叉苹果树，边上结了苹果需要砍去一些边，求保留q条边时最多能保留多少苹果。（1<=n,q<=100)

问题分析

题目保证了原始苹果树有分叉则必为二叉，且1为root
注意输入时父子顺序是不确定的，所以需要做处理
定义 $dp_{i,j}$ 表示编号为i的子树在保留j条边的情况下获得的最大苹果数目，则状态转移为
$dp_{i,j} = max \begin{cases} dp_{lc,k} + dp_{rc,j-k-2} + apple_{lc} + apple_{rc} \\ dp_{lc, j-1} + apple_{lc} \\ dp_{rc,j-1} + apple_{rc} \\ \end{cases}$
对应上述转移方程的情况分别为：
1. 在保留边数j至少为2的前提下，保留i的左右两条子边，然后从左右子树中总共挑选j-2条边
2. 在左子树总边数大于等于保留边数j的前提下，可以砍掉右子树，只在左子树中保留边，显然为了保留左子树的边，就得先保留i的左子边，所以左子树还要保留j-1条边
3. 情况与2类似
注意在任何时候，都要保证cnt[i]>=j，即最多保留树i的总边数。但换种想法来看， $dp_{i,j}$ 表示树i最多保留j条边时的最大苹果总数，此时不存在问题(与另一种做法不同)
关于遍历顺序的问题，一般采用DFS，回溯时做DP；为防止爆栈，也可以使用BFS，然后逆序遍历。
一开始，我采用了另外一种DP思路，定义 $dp_{i, j}$ 为树i砍去j条边的最大苹果总数。简单地看，这样也~~没什么不妥~~，并且状态转移与保留DP~~差异不大~~，但是这样DP存在以下神坑：
1. 必须保证砍去的边j总是小于树i的总边数，而不能出现虚拟砍伐。比如，树i（5边）总共砍5刀，左树lc（4边），右树rc（1边），如果给分配成右树砍4刀，左数砍1刀，则在事实上只是砍了2刀。这样的错误主要来自于错误的DP状态定义，在这之前，我的DP状态定义是树i最多砍j刀的最大苹果数目。显然，不砍时最优，故最多砍j刀的最大数相当于砍0刀的最大数。
2. 当把树i的左边砍掉时，也就意味着整个左子树都被一定砍掉了，此时右子树需砍伐j - (cnt[lc] + 1) - 1条边。这里还有一个误区在于，虽然主观上只砍去1条边，给人感觉右子树还要砍j - 1 ；或者是砍去1条边，左子树上的cnt条边还可以选择性地砍伐k条，造成右半部分可以对应地砍伐j - (1 + k)条边。但这两种想法都是错的，是把砍边当成了机会而非事实，正确的想法是砍去1条左子边，就造成了整个左半部分被去除的事实，即树失去了cnt[lc] + 1条边。因为我们最终要的结果是保留多少条边，所以砍去1条主边和砍去左半部分所有边造成的结果都是一样的。
基于以上神坑，所以极不推荐那种做法！

AC代码

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
const int maxn = 110;
const bool DBG = false;

int n,q;
vector<int> son[maxn];
int father[maxn];
int apple[maxn];

int que[maxn], front, back;
int dp[maxn][maxn];
int cnt[maxn];

int main()
{
    //建树
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for(int i=0;i<(n-1);i++)
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        if(v == 1 || father[v])swap(u, v);//保证u是父节点
        apple[v] = w;
        father[v] = u;
        son[u].push_back(v);
    }

    //BFS排序
    que[back++] = 1;
    while(back!= n)
    {
        int cur = que[front++];
        for(int s:son[cur])
            que[back++] = s;
    }
    
    //统计每棵子树的枝干总数（边数）
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        int cur = que[i];
        if(son[cur].size())
            cnt[cur] = cnt[son[cur][0]] + cnt[son[cur][1]] + 2;
    }
    
    //从叶子按顺序DP
    while(back)
    {
        int i = que[--back];
        for(int j=0;j<=cnt[i];j++)
        {
            if(!son[i].size())
                dp[i][j] = 0;
            else
            {
                int lc = son[i][0], rc = son[i][1];
                int temp = 0;
                if(cnt[i] >= j && j >= 2)
                {
                    for(int k=0;k<=(j-2);k++)
                        if(cnt[lc] >= k && cnt[rc] >=(j-k-2))
                            temp = max(temp, dp[lc][k] + dp[rc][j-k-2] + apple[lc] + apple[rc]); 
                }
                
                if(cnt[lc] >= (j - 1) && j >= 1)
                    temp = max(temp, dp[lc][j-1] + apple[lc]);
                
                if(cnt[rc] >= (j-1) && j >= 1)
                    temp = max(temp, dp[rc][j-1] +apple[rc]);
                
                if(DBG)printf("\n");
                dp[i][j] = temp;
            }
        }
    }
    
    //输出结果
    printf("%d\n", dp[1][q]);
    return 0;
}

来源：CSDN

作者：奔跑吧蚂蚁呀

链接：https://blog.csdn.net/qq_40488628/article/details/103241447

标签

苹果树

苹果