线性筛素数、欧拉函数

判断一个数n是否是素数，众所周知可以用O(sqrt(n))的方法。

但是如果要求很多个数，这个方法就不太好了。（比如所有小于n的数，复杂度就是O(n^1.5)。）

埃拉托斯特尼筛法，大家都听说过。从2到n，去掉每个数的倍数，剩下来的就是质数。

不过这个方法会重复删除，比如6是2、3的倍数，会被删2次，因子越多，删的次数就越多。

改进之后的线性筛保证每个数只被最小的质因子删，所以是O(n)的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 100005
#define MAXL 1299710
int prime[MAXN];
int check[MAXL];

int tot = 0;
memset(check, 0, sizeof(check));
for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
{
  if (!check[i])
  {
    prime[tot++] = i;
  }
  for (int j = 0; j < tot; ++j)
  {
    if (i * prime[j] > MAXL)
    {
      break;
    }
    check[i*prime[j]] = 1;
    if (i % prime[j] == 0)
    {
      break;
    }
  }
}

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tot是计数用的，prime保存质数，check是判断是否是质数。

1.任意一个合数 A = p1p2...pn，（其中p1<=p2<=...<=pn），i=p2p3...pn时会删掉。

2.A只会被p1删掉。若i是prime[j]的倍数，A不会被p[j+1]删掉，当i=A/p[j+1]时，i%p[j+1]==0，break。如果不退出，A就被p[j+1]删了。

可以看出，这个方法需要额外的prime数组。而埃氏筛不必要。

顺便可以求欧拉函数

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 100005
#define MAXL 1299710
int prime[MAXN];
int check[MAXL];
int phi[MAXL];
int tot = 0;
phi[1] = 1;
memset(check, 0, sizeof(check));
for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
{
  if (!check[i])
  {
    prime[tot++] = i;
    phi[i] = i - 1;
  }
  for (int j = 0; j < tot; ++j)
  {
    if (i * prime[j] > MAXL)
    {
      break;
    }
    check[i*prime[j]] = 1;
    if (i % prime[j] == 0)
    {
      phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
      break;
    }else
    {
      phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
    }
  }
}

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n为质数，phi(n)=n-1

n为合数，进行质因数分解。$\large n = p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times ... \times p_n^{k_n}$

$$\large \varphi(n) = n \prod\limits_{i = 1} ^ {n} \frac{p_i - 1}{p_i}$$

筛掉n=i*prime[j]时，求$\varphi(n)$，筛和求是同步的，也是O（n）。

设p1是n的最小质因子，n'=n/p1。

若n'%p1=0，即k1>1，n'含有n的所有质因子，则有

$$\large \begin{align} \varphi(n)&= n \prod\limits_{i = 1} ^ {n} \frac{p_i - 1}{p_i} \\ &= p_1 \times n' \prod\limits_{i = 1} ^ {n} \frac{p_i - 1}{p_i} \\ &= p_1 \times \varphi(n') \\ \end{align}$$

若n'%p1≠0，即k1=1，n'与p1互质，有

$$\large \begin{align} \varphi(n)&= n \prod_{i = 1} ^ {n} \frac{p_i - 1}{p_i} \\ &= p_1 \times n' \times \frac{p_1-1}{p_1} \prod\limits_{i = 2} ^ {n} \frac{p_i - 1}{p_i} \\ &= (p_1-1) \times \varphi(n') \\ \end{align}$$

（这也证明了欧拉函数是积性函数）

ref：

代码全是抄这里的。

欧拉函数的公式全是抄这里的。

延伸：

只筛奇数。

我推荐这个算法！ 易于理解。 只算奇数部分，时空效率都还不错！  
half=SIZE/2;   
int sn = (int) sqrt(SIZE);   
for (i = 0; i < half; i++)   
   p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3，即p[i]对应2*i+3   
for (i = 0; i < sn; i++) {      
if(p[i])//如果 i+i+3 是素数  
{       //每次j+=k,2*(j+k)+3=(2*j+3)+2k，也就是在上一个筛的数上+2k
    for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k)   
    // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2                                          
    // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i  
    //    下标 i         k*i+k+i  
    //对应数值 k=i+i+3   k^2           
       p[j]=false;   
}   
}   
//素数都存放在 p 数组中，p[i]=true代表 i+i+2 是素数。  
//举例，3是素数，按3*3,3*5,3*7...的次序筛选，因为只保存奇数，所以不用删3*4，3*6....

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来源：oschina

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