7 二叉搜索树

7a. 概述

在这里插入图片描述 BST: 二叉搜索树； BBST:平衡二叉搜索树

7b

7b-1 BST查找

在这里插入图片描述 _hot记忆节点的语义：总是指向命中节点的父亲

7b-2 BST插入

在这里插入图片描述上面插入算法的复杂度不会超过O(h),h为树的高度

7b-3 BST删除

在这里插入图片描述上图为removeAt的可能情况之一：要删除的节点（69）有一颗子树为空，对应代码实现如下：
上述①处代码也能够处理删除节点的左右孩子都不存在的情况
寻找要删除节点（36）的直接后继（40）（直接后继：二叉树中不小于当前节点的最小的值），然后交换二者，因为（40）是（36）的直接后继，所以可以保证原本节点（40）所处的位置是没有左子树的，这样就转换成了第一种情况。具体实现如下：
在这里插入图片描述

7c 平衡与等价

在这里插入图片描述前面的查找，插入，删除的复杂度都不会超过O(h)，但是如果这棵树退化成了List，复杂度也会变成O(n),n为元素个数
第一种生成方法：随机生成关键码序列，总共有n!种序列。由此得到的n!棵BST,平均树高为 logn
在这里插入图片描述第二种生成方法：随机组成，将每个节点看成积木，考察能够拼出多少种结构互异的BST,计算算出能够得到Catalan(n)棵互异的BST,平均树高为O(√n)
综合考虑，第二种方法更为可信，因为第一种方法不同的关键码可能会对应相同的BST结构，如上图最右边的一棵树。我们也可以看出，中位数或者接近中位数的的节点被越早的插入，树的高度会相应的更低。
在这里插入图片描述大圈代表BST.一棵BBST一系列动态操作，可能不再是BBST，应该采用什么方法，将其再次变为BBST?(等价变换)
如上图，树的拓扑结构不同，而树的中序遍历相同的两颗BST，称为等价的BST
局部性：每次操作在树的局部，保证操作只需要常量时间O(1)
进行一次转换，累计需要操作的次数不要超过O(logn)
day42

7d-1 AVL树重平衡

在这里插入图片描述 CBT:完全二叉树；①重平衡的标准；②重平衡的技巧
某个节点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度；注意空树的高度为-1.
S(h):高度为h的树的规模
插入操作可能导致多个祖先失衡，但其后续重平衡操作很简单，而删除操作虽然只会导致一个祖先失衡，但其后续的重平衡操作更复杂。

7d-2 AVL树插入删除重构

在这里插入图片描述 zig、zag到底怎么操作
参考教材7-17题
_hot为当前当前节点父节点
AVL树拓扑结构变化量太高，后续要学习的红黑树，，无论是删除还是插入操作，都可以将变化量控制在O(1)
connect34 构思
这样设计可以更加鲁棒的适应各种情况的重构（单旋、双旋）
在这里插入图片描述完成代码，开始第八章