Lyndon分解学习笔记

1.一些定义

Lyndon Word：对于任意字符串 \(s\) 如果对任意后缀 \(S\)，有$ S>s$，那么称 \(s\) 为Lyndon Word。

举个例子：\(\texttt{abcdefg}\) 是 Lyndon Word，而 \(\texttt{gfedcba}\) 不是。

定义 \(\mathbb L\) 表示 Lyndon Word 构成的集合。

Lyndon 分解：对于任意字符串 \(s\)，如果存在一组字符串 \(w_1,w_2,\cdots,w_k\)，满足：

1. \(w_1w_2\cdots w_k=s\)；
2. \(\forall i,w_i\) 是 Lyndon Word；
3. \(w_1\ge w_2\ge w_3\cdots w_k\)；

则称 \(\{w_i|1\le i\le k\}\) 为 \(s\) 的 Lyndon 分解，并记 \(\text{CFL}(s)=\{w_i|1\le i\le k\}\) 。

2.一些性质

（以下定理证明可以康zght's blog）

1. 若 \(a,b\in \mathbb L\) ，且 \(a<b\) ，则 \(ab\in \mathbb L\)。
2. Lyndon 分解存在且唯一。
3. \(w_1\) 是最长的 Lyndon 前缀， \(w_k\) 是最长的 Lyndon 后缀。
4. \(s\) 的最小后缀是 \(w_k\) 。

3. Duval's Algorithm

下记 \((s)^k\) 表示 \(s\) 重复 \(k\) 次的结果，例如 \((\texttt{ab})^5=\texttt{ababababab}\) 。

来源：oschina

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