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1.二叉堆(Binary Heap)、二项堆、斐波那契堆(简称Fib堆)的比较：
相同：
- 都是可归并堆（Mergeable Heap）；
- 它们都支持5个基本操作（创建、插入、查找最小值、抽取最小值、合并堆）和2个扩展操作
（结点减值、结点删除）。
不同：
- 二叉堆是一种结点有序的完全二叉树，可采用数组结构存储，通过数组下标索引结点，分最大
堆和最小堆。 二项堆和Fib堆都是最小堆。 - 二项堆由二项树组成，结构比二叉堆复杂，但其堆合并操作的时间复杂度较好。当堆合并操作
较多时，可使用二项堆。反之，使用二叉堆即可。
2. 二项树
2.1 定义
仅包含一个结点的有序树是一棵二项树(B_0树)。二项树B_k由两棵B_{k-1}树组成，其中一
棵B_{k-1}树的根作为另一棵B_{k-1}树根的最左孩子(k≥0)。
2.2 二项树B_k的性质
- 结点数 n = 2{^k}
- 树高为 k = lgn
- 深度为i处有k!/(i!(k-i)!）个结点（k>=i>=0）。
- 根的度最大为k，若根的孩子从左到右编号为k-1,k-2,…,1,0，则孩子i恰好是子树B_i的根。
proof：主要依靠B_k与B_{k-1}间的关系
- 2^{k-1} + 2^{k-1} = 2^{k}
- k-1+1 = k
- 即证D(k,i) = D(k-1,i-1) + D(k-1,i)
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3. 二项堆
3.1 定义
它是由一系列二项树组成的集合，满足以下性质：
堆中每一颗二项树都满足最小堆性质。堆中度为k的树是唯一的 => n个结点的二项堆中最多有
lgn上界 + 1课二项树
3.2 数据结构
根表 root list
head[H]->B_0->B_2->B_3
根表是单链表，它链接所有二项树的根结点，且按度的递增顺序链接。- 结点 node
每个结点包含5个域：
key：数据
指针p：指向父结点
degree（度）：孩子个数
child：指向最左孩子
sibling：指向右兄弟
class Node():
"""
class of the node in the heap
provide functions to the binomial tree
"""
def __init__(self, key = None):
self.p = None # point to parent
self.key = key # value
self.degree = 0 # count of the children
self.child = None # point to child of the left
self.sibling = None # point to the right brother
def link_tree(self, other):
"""
other -> subtree of self.
"""
other.parent = self
other.sibling = self.child
self.child = other
self.degree += 1
3.3 操作
3.3.1 五个基本操作
- 创建空堆
- 取最小值：由于二项树满足最小堆性质，所以遍历根表即可。
合并两个二项堆
时间复杂度分析：
step1：按照二项树的度递增的顺序合并两个根表。
step2：根表调整，以满足度的唯一性。用三个辅助指针（per、p、after）将度重复的树合并。
由于step1合并后的根表中，度相同的树最多有两颗，所以会出现以下几种情况：
case1：三个指针所指二项树根都存在，且度不同 => 指针后滑，进入case3或结束。
case2：per为空，p.degree = after.degree，且after.sibling存在 =>指针后滑，进入case4。
case3：case1或case2不成立，若pre为空，则一定有p.degree = after.degree => 根据degree
合并p和after所指二项树，after后滑，进入case2 或 case1
case4：三个指针所指二项树根都存在，且度相同 =>根据degree合并p和after所指二项树，after
后滑，进入case3。- 合并根表 O(lgn)
- 根表调整，遍历新根表O(lgn)
- 合并操作的时间复杂度为O(lgn)，优于二叉堆的O(n)
def _merge_rootlist(self, heap2): """ merge two root list and keep increasing order in degree. """ p1 = self.head p2 = heap2.head if not p1: # p1 = None return heap2.head if not p2: # p2 = None return self.head if p1.degree <= p2.degree: p = p1 p1 = p1.sibling else: p = p2 p2 = p2.sibling head = p while p1 and p2: if p1.degree <= p2.degree: p.sibling = p1 p1 = p1.sibling else: p.sibling = p2 p2 = p2.sibling p = p.sibling if p2: p.sibling = p2 else: p.sibling = p1 return headdef _union(self, heap2): """ step1: merge two root list and keep increasing order in degree. step2: adjust root(merge) to keep the unique of the degree in all binomial trees. use three point to adjust the heap: pre , p , after """ if heap2 is None: return if self.head is None: self.head = heap2.head self.size = heap2.size return # step1 head = self._merge_rootlist(heap2) print("merge root list") self.print_rootlist() # step2 use three point to adjust the heap if not head: print("merge rootlist error") return pre = None p = head after = head.sibling while after: # case 1 / case 2 , point + 1 if p.degree != after.degree or (after.sibling is not None and after.sibling.degree == p.degree ): pre = p p = after # case 3, merge p and after into p elif p.key <= after.key: # update point p.sibling = after.sibling # merge two tree, p.child = after p.link_tree(after) else: # after.degree == p.degree, after.sibling = None, p.key>after.key # => update head ,link(after,p),over! if pre == None: head = after # upfate pre.sibling = after, link(after,p) else: pre.sibling = after after.link_tree(p) p = after after = p.sibling self.head = head self.size += heap2.size return- 合并根表 O(lgn)
- 插入结点x
将x放入一个空堆H2中，将H和H2合并。
时间复杂度为O(lgn)
def insert(self, node):
"""
insert a node into a null heap.
1. node->new heap (heap2)
2. union(self, heap2)
"""
h = BinomialHeap()
h.head = node
self.union(h)
self.size += 1
- 抽取最小值结点
step1：遍历根表查最小值结点z。
step2：在根表中删除结点z，并把z的孩子"逆放"到一个空堆H2中。所谓逆放，即使H2满足二项堆根
表中树根的度递增的顺序。
step3：将H和H2合并。
时间复杂度O(lgn)
def extract_min_node(self):
self._extract_min_node()
return
def _extract_min_node(self):
size = self.size
min_node, pre_min = self.min()
self.extract(min_node, pre_min)
self.size = size - 1
return
def extract(self, node, pre_node):
if node == None:
return
# del min node in the root list
if pre_node==None:
self.head = min_node.sibling
else:
pre_node.sibling = node.sibling
# if the minimum node has no child
if(node.child == None):
return
# if the node has subtrees, then inesrt them into a new heap, and union this new heap with old heap.
new_heap = BinomialHeap()
# insert the subtrees in reverse order
p = node.child
list_root = []
while p.sibling != None:
p.parent = None
list_root.append(p)
p = p.sibling
list_root.append(p)
while list_root != []:
p = list_root.pop(-1)
new_heap.insert(p)
# union
self.union(new_heap)
return
3.3.2 两个扩展操作
- 减值(减少结点z的key)
z减值后自底向上迭代比较，直到孩子结点的值大于父结点。类似冒泡。
时间复杂度；O(lgn)
def _decrease_key(self,node,key):
if node == None or node.key <= key:
print("node or key err")
return
node.key = key
x = node
p = node.p
# bubble
while p is not None and p.key > x.key:
t = p.key
p.key = x.key
x.key = t
x = p
p = p.p
return
- 删除结点z
step1:对z进行减值操作，将z的值减为最小值。
step2:对z所在二项树的树根执行抽取操作。
时间复杂度：O(lgn)
参考
《算法导论》
来源：https://www.cnblogs.com/ChengzhiYang/p/12402564.html