欧拉函数

在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。
通式： $φ(x) = x\prod_{i = 1}^n (1 - \frac{1}{p_i})$ 其中p1,p2…pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
注意：每种质因数只有一个。比如12=223那么φ(12)= 12 * (1-1/2)*(1-1/3)=4。

定理：

1.如果p是素数，那么φ(p )=p-1；反之如果p是一个正整数且满足φ(p )=p-1，那么p是素数。

2.如果p是素数，a是一个正整数，那么φ(p^a)=p^a-p^a-1。
证明：比p^a小的数有p^a-1个，因为p^a只有一个素因子p，其中与p不互质的个数就是p的倍数个数p^a-1-1。

3.设n和m是互质的正整数，那么φ(nm)=φ(n)φ(m)。因为欧拉函数是积性函数。

4.设n=p₁^a1p₂^a2…p_k^ak 为正整数n的素数幂分解，那么φ(n)=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/p_k)(算法的核心)

5.设n是一个正整数，那么 $\sum_{d|n}φ(d)=n$

6.如果n大于2，那么n的欧拉函数值是偶数。
所以，根据通式可以得到求单个数的欧拉函数

long long Euler(long long n){
	long long ans = n;
	for(int i = 2; i * i <= n; i++){
		if (n % i == 0){
   		ans -= ans / i;
   		while(n % i == 0) n /= i;
   		}
	}
	if(n > 1) ans -= ans / n;
	return ans;
}

而有时候我们会频繁的调用欧拉函数，那我们通常会预处理所有欧拉函数出来

const int MAXN = 3000001;
int euler[MAXN];
void getEluer(){
	memset(euler, 0, sizeof(euler));
	euler[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
		if(!euler[i])
			for(int j = i; j <= MAXN; j += i){
				if(!euler[j]) euler[j] = j;
				euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);
			}
	}
}

除此之外，我们经常还会通过欧拉筛素数的同时求欧拉函数

const int MAXN = 10000000;
bool check[MAXN + 10];
int phi[MAXN + 10];
int prime[MAXN + 10];//素数
int tot; //素数的个数
void phi_and_prime_table(int N){
	memset(check, false, sizeof(check));
	phi[1] = 1;
	tot = 0;
	for(int i = 2; i <= N; i++){
		if(!check[i]){
			prime[tot++] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for(int j = 0; j < tot; j++){
			if(i * prime[j] > N) break;
			check[i * prime[j]] = true;
			if(i % prime[j] == 0){
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
			}
			else{
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
			}
		}
	}
}

来源：CSDN

作者：亮ll

链接：https://blog.csdn.net/weixin_43845384/article/details/104617473

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