微积分公式与解法大全

微积分公式与解法大全

文章目录

• 微积分公式与解法大全
• 1 微积分运算法则
• 2 微积分基本公式
• 3 不定积分
• 3.1 第一类换元法——凑微分
• 3.2 第二类换元法——变量替换
• 3.3 分部积分
• 3.4 有理函数的积分方法——高斯分解
• 4 微分方程
• 4.1 一阶微分方程
• 4.2 二阶微分方程
• 5 三角函数公式大全
• 5.1 基本三角公式定义
• 5.2 诱导公式
• 5.3 两角和与差的三角函数
• 5.4 和差化积公式
• 5.5 积化和差公式
• 5.6 二倍角公式
• 5.7 半角公
• 5.8 万能公式
• 5.9 其它公式
• 5.10 其他非重点
• 5.11 双曲函数

1 微积分运算法则

设函数$u$、$v$均为可导函数，$k$、$l$为常数。

序号	导数	微分
1	$(ku+lv)'=ku'+lv'$	$d(ku+lv)=kdu+ldv$
2	$(uv)'=u'v+uv'$	$d(uv)=vdu+udv$
3	$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$	$d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$
4	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$	$dy=f'[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=f'(u)du$

注意：$y=f(u),u=\varphi(x)$均为可导函数，则函数$f[\varphi(x)]$为可导函数。

2 微积分基本公式

序号	导数	微分	积分
1	$x^{\mu}={\mu}x^{\mu-1}$	$d(x^{\mu})={\mu}x^{\mu-1}dx$	$\int x^{\mu}dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu +1}$
2	$(e^x)'=e^x$	$d(e^x)=e^xdx$	$\int e^xdx=e^x+c$
3	$(a^x)'=a^xlna$	$d(a^x)=a^xlnadx$	$\int a^xdx=\frac{a^x}{lna}+c$
4	$(lnx)'=\frac{1}{x}$	$d(lnx)=\frac{1}{x}dx$
5	$(log_ax)'=\frac{1}{xlna}$	$d(log_ax)=\frac{1}{xlna}dx$
6	$(sinx)'=cosx$	$d(sinx)=cosxdx$	$\int sinxdx=-cosx + c$
7	$(cosx)'=-sinx$	$d(cosx)=-sinxdx$	$\int cosxdx=sinx + c$
8	$(tanx)'=sec^2x$	$d(tanx)=sec^2xdx$
9	$(cotx)'=-csc^2x$	$d(cotx)=-csc^2xdx$
10	$(secx)'=secx \cdot tanx$	$d(secx)=secx \cdot tanxdx$
11	$(cscx)'=-cscx \cdot cotx$	$d(cscx)=-cscx \cdot cotxdx$
12	$(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$d(arcsinx)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$	$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arccosx+c$
13	$(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$d(arccosx)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
14	$(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}$	$d(arctanx)=\frac{1}{1+x^2}dx$	$\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+c$
15	$(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}$	$d(arccotx)=-\frac{1}{1+x^2}dx$

补充（积分公式）：
(1) $\int tanxdx=-ln \left| cosx \right|+ c$
(2) $\int cotxdx=ln \left| sinx \right|+c$
(3) $\int secxdx=ln \left|secx+tanx \right|+c$
(4) $\int cscxdx=ln \left|cscx-cotx \right|+c$
(5) $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a} arctan\frac{x}{a}+c$
(6) $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln \left|\frac{x-a}{x+a} \right|+c$
(7) $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+c$
(8) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2 }}dx=ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2} \right|+c$

3 不定积分

3.1 第一类换元法——凑微分

$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=F(x)+c$

要点：凑出中间变量的导数形式

常见换元积分形式：

序号	积分等式	换元公式
1	$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a} \int f(ax+b)d(ax+b)$	$u=ax+b$
2	$\int f(x^\mu)x^{\mu-1}dx=\frac{1}{\mu} \int f(x^\mu)d(x^{\mu})$	$u=x^\mu$
3	$\int f(lnx) \cdot \frac{1}{x}dx=\int f(lnx)d(lnx)$	$u=lnx$
4	$\int f(e^x) \cdot e^xdx=\int f(e^x)d(e^x)$	$u=e^x$
5	$\int f(a^x) \cdot a^xdx=\frac{1}{lna} \int f(a^x)d(a^x)$	$u=a^x$
6	$\int f(sinx) \cdot cosxdx=\int f(sinx)d(sinx)$	$u=sinx$
7	$\int f(cosx) \cdot sinxdx=-\int f(cosx)d(cosx)$	$u=cosx$
8	$\int f(tanx) \cdot sec^2xdx=\int f(tanx)d(tanx)$	$u=tanx$
9	$\int f(cotx) \cdot csc^2xdx=\int f(cotx)d(cotx)$	$u=cotx$
10	$\int f(arctanx) \cdot \frac{1}{1+x^2} dx=\int f(arctanx)d(arctanx)$	$u=arctanx$
11	$\int f(arcsinx) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int f(arcsinx)d(arcsinx)$	$u=arcsinx$

3.2 第二类换元法——变量替换

$\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)] \cdot \varphi'(t)dt=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C$

要点：对根式函数的处理方法

原变量	替换变量
$f(\sqrt{a+bx})$	$t=\sqrt{a+bx}$
$f(\sqrt{a^2-x^2})$	$x=asint$
$f(\sqrt{a^2+x^2})$	$x=atant$
$f(\sqrt{x^2-a^2})$	$x=asect$

3.3 分部积分

$\int uv'dx=uv-\int u'vdx=uv-\int udv$

类别	形式	分部取值
1	$\int x^me^xdx，\int x^msinxdx，\int x^mcosxdx$	$u=x^m$
2	$\int x^mlnx，\int x^marcsinxdx，\int x^marctanxdx$	$v=x^m$
3	$\int e^{ax}sinbxdx，\int e^{ax}cosbxdx$	$u=e^{ax},sinx,cosx$ 均可

$u$的选取技巧（优先原则）：“对数函数、反函数、幂函数、三角函数、指数函数”（对、反、幂、三、指）

3.4 有理函数的积分方法——高斯分解

解决题型：$\int \frac{P_n(x)}{P_m(x)}dx$，其中$P_n(x)$与$P_m(x)$分别是$n$次和$m$次的多项式($n<m$).

形式	高斯分解
$f(x)=\frac{P(x)}{(x-a)^2(x-b)}$	$f(x)=\frac{P(x)}{(x-a)^2(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{x-b}$
$f(x)=\frac{P(x)}{(x-a)(x^2+bx+C)}$	$f(x)=\frac{P(x)}{(x-a)(x^2+bx+C)}=\frac{A}{x-a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}$

4 微分方程

4.1 一阶微分方程

名称	形式	解法
可分离变量微分方程	$M(x)dx=N(y)dy$	两边同时积分
齐次方程	$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$	①令$u=\frac{y}{x}$； ②$y=ux$； ③$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$； ④$\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}$
一阶齐次线性微分方程	$y'+P(x)y=0$	分离变量法
一阶非齐次线性微分方程	$y'+P(x)y=Q(x)$	$y=e^{-\int P(x)dx}(e^{\int P(x)dx} \cdot Q(x)dx+C)$
可降解高阶微分方程(1)	$y^{(n)}=f(x)$	逐次积分
可降解高阶微分方程(2)	$y''=f(x,y')$ 含$y'',y',x$，但不能含有$y$	①换元法：设$y'=p，y''=p'=\frac{dp}{dx}$ ②分离变量法
伯努利方程	$y’+P(x)y=Q(x)y^{(n)}$	①令$z=y^{1-n}$ ②$z'+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$

4.2 二阶微分方程

(1) 二阶常系数齐次线性微分方程

• 形式：$y''+py'+qy=0$
• 通解结构：$y_1，y_2$是微分方程的特解，且$\frac{y_1}{y_2} \not= k$，则 $y=C_1y_1+C_2y_2$是微分方程的通解
• 求解方法总结：

 1. 提取特征方程； 
 2. 解特征方程； 
 3. 判断特征方程类型； 
 4. 根据特征根与通解关系表带入特征根计算得出结果。

• 特征根与通解关系表

特征根	通解
$r_1 \not= r_2$	$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$
$r_1=r_2=k$	$y=(c_1+c_2x)e^{kx}$
$r=\alpha \pm \beta i$	$y=e^{\alpha x}(c_1sin\beta x+c_2cos\beta x)$

• 特征方程与特征根的推导

$y''+py'+qy=0$，其中$p,q$均为常数

令$y=e^{rx}$，则$y'=re^{rx}，y''=r^2e^{rx}$

带入微分方程可得：

$r^2e^{rx}+p \cdot re^{rx}+q \cdot e^{rx}=0$

$(r^2+p \cdot r+q)e^{rx}=0$

$r^2+p \cdot r+q=0$ (特征方程)

$r=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (特征根)

---

• 例题

求：微分方程$y''+2y'+3y=0$的通解.

解：由题可知特征方程为：$r^2+2r+3=0$

由配方法得：$(r+1)^2=-2$

$r=-1 \pm \sqrt{-2}=-1 \pm \sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}=-1 \pm \sqrt{2}i$

$\therefore$ 特征根是一对共轭复根

$\therefore \alpha = -1，\beta=\sqrt{2}$

$\therefore y=e^{-x}(c_1sin\sqrt{2}x+c_2cos\sqrt{2}x)$

---

(2) 二阶常系数非齐次线性微分方程

• 形式：$y''+py'+qy=f(x)$
• 通解结构：$y=y^* + \overline{y}$
  • $y^*$是$y''+py'+qy=f(x)$的一个特解
  • $\overline{y}$是对应的齐次微分方程$y''+py'+qy=0$的通解
• 特解$y^*$的求解方法总结：

 1.写出特解的组成；
 2.分别求解特解成分的未知参数：Qn(x)、k； 
 3.将求出的参数值带入特解。

---

类型一

题型：$y''+py'+qy=P_n(x)e^{\alpha x}$，$P_n(x)$是$n$次多项式，$\alpha$为已知值

特解：$y^*=x^k \cdot Q_n(x) \cdot e^{\alpha x}$

待解：$Q_n(x)，k$

① $Q_n(x)$是最高次幂为$n$的多项式的标准形式

最高次幂	最高次幂为$n$的多项式的标准形式
0	$a$
1	$ax+b$
2	$ax^2+bx+c$

② $k$ 由特征方程的特征根与$\alpha$的关系决定

$\alpha$与特征根的关系	$k$的取值
$\alpha$ 不是特征根	$k=0$
$\alpha$ 是特征单根	$k=1$
$\alpha$与特征重根	$k=2$

类型二

题型：$y''+py'+qy=e^{\alpha x}(Asin\beta x+Bcos\beta x)$，$\alpha，\beta$为已知值

特解：$y^*=x^k \cdot e^{\alpha x} \cdot(csin\beta x+dcos\beta x)$，$c，d$为常数，无需求解

待解：$k$

$k$ 由特征方程的特征根与$\alpha + \beta i$的关系决定

$\alpha + \beta i$与特征根的关系	$k$的取值
$\alpha + \beta i$ 不是特征根	$k=0$
$\alpha + \beta i$ 是特征单根	$k=1$

---

• 例题

$y''-4y'+4y=(2x+1)e^{2x}$的特解$y^*$应设为？

解：由题可知

特解组成为：$y^*=x^k(ax+b)e^{2x}$

特征方程为：$r^2-4r+4=0$

解得特征根：$r_1=r_2=2$

$\because \alpha =2=r_1=r_2$

$\therefore \alpha$ 是特征方程的特征重根

$\therefore k=2$

$\therefore$ 特解应设为：$y^*=x^2(ax+b)e^{2x}$

---

注意：二阶常系数非齐次线性微分方程的通解由两部分组成（$y=y^* + \overline{y}$），求解时应注意解得完整性！例题只给出了二阶常系数非齐次线性微分方程特解的步骤，并不是完整的二阶常系数非齐次线性微分方程题型，对应的齐次方程的通解请参考4.2(1)。

5 三角函数公式大全

5.1 基本三角公式定义

名称	函数名	名称	函数名	名称	函数名
正弦	$sinA = \frac{a}{c}$	余弦	$sinA = \frac{b}{c}$	正切	$sinA = \frac{a}{b}$
余割	$cotA = \frac{b}{a}$	正割	$secA = \frac{c}{b}$	余割	$sinA = \frac{c}{a}$

5.2 诱导公式

$sin(-a)=-sin(a)$	$cos(-a)=cos(a)$
$sin(\frac{\pi}{2}-a)=cos(a)$	$cos(\frac{\pi}{2}-a)=sin(a)$
$sin(\frac{\pi}{2}+a)=cos(a)$	$cos(\frac{\pi}{2}+a)=-sin(a)$
$sin(\pi-a)=sin(a)$	$cos(\pi-a)=-cos(a)$
$sin(\pi+a)=-sin(a)$	$cos(\pi+a)=-cos(a)$
$tgA=tanA=sinA/cosA$	口诀：奇变偶不变，符号看象限

5.3 两角和与差的三角函数

$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)$	$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$
$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$	$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$
$tan(a+b)=\frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b}$	$tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}$

5.4 和差化积公式

$sin(a)+sin(b)=2sin \frac{a+b}{2}cos \frac{a-b}{2}$	$sin(a)-sin(b)=2cos \frac{a+b}{2}sin \frac{a-b}{2}$
$cos(a)+cos(b)=2cos \frac{a+b}{2}cos \frac{a-b}{2}$	$cos(a)-cos(b)=-2sin \frac{a+b}{2}sin \frac{a-b}{2}$

5.5 积化和差公式

$sin(a)sin(b)=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b)]$	$cos(a)cos(b)=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]$
$sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)]$	$cos(a)sin(b)=\frac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b)]$

5.6 二倍角公式

$sin(2a)=2sin(a)cos(a)$	$cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)$
$tan(2A)=\frac{2tanA}{1-tan^2A}$

5.7 半角公

$sin(\frac{a}{2})=\sqrt{\frac{1-cos(a)}{2}}$	$cos(\frac{a}{2})=\sqrt{\frac{1+cos(a)}{2}}$
$tan(\frac{a}{2})=\frac{1-cos(a)}{sin(a)}=\frac{sin(a)}{1+cos(a)}$	$cot(\frac{a}{2})=\sqrt{\frac{1+cos(a)}{1-cos(a)}}$

5.8 万能公式

$sin(a)= \frac{2tan(\frac{a}{2})}{1+tan^2(\frac{a}{2})}$	$cos(a)= \frac{1-tan^2(\frac{a}{2})}{1+tan^2(\frac{a}{2})}$
$tan(a)= \frac{2tan(\frac{a}{2})}{1-tan^2(\frac{a}{2})}$	$sin^2(a)+cos^2(a)=1$

5.9 其它公式

$a\cdot sin(a)+b\cdot cos(a)=\sqrt{a^2+b^2}sin(a+c) [其中，tan(c)=\frac{b}{a}]$
$a\cdot sin(a)-b\cdot cos(a)=\sqrt{a^2+b^2}cos(a-c) [其中，tan(c)=\frac{a}{b}]$
$1+sin(a)=[sin(\frac{a}{2})+cos(\frac{a}{2})]^2$
$1-sin(a)=[sin(\frac{a}{2})-cos(\frac{a}{2})]^2$

5.10 其他非重点

• $csc(a)=\frac{1}{sin(a)}$
• $sec(a)=\frac{1}{cos(a)}$

5.11 双曲函数

$sinh(a)=\frac{e^a-e^{-a}}{2}$	$sinh(a)=\frac{e^a+e^{-a}}{2}$
$tgh(a)=tanh(a)=\frac{sinh(a)}{cosh(a)}$

来源：CSDN

作者：Jenkin.

链接：https://blog.csdn.net/lenggege1/article/details/104561737