离散数学复习点统计

文章目录

• 第一章:
• 第二章:
• 第四章:
• 第五章:
• 第六章:
• 第七章:
• 第八章:
• 第九章:
• 第十一章:

第一章:

1. 基础:

   命题
   命题的真值
   真值的取值
   真命题
   假命题
   简单命题(原子命题)
   复合命题

2. 5个联结词的定义

3. 5个联结词的运算方向

5个联结词的优先级顺序

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4. 基础:

   命题常项
   命题变项
   合式公式 (命题公式, 公式)

5. 赋值(解释)
   成真赋值
   成假赋值
   真值表

6. 公式的类型:

   重言式(永真式)
   矛盾式(永假式)
   可满足式

7. 等值演算:

   等值与等值式
   24个基本等值式
   等值演算
   置换规则

   证明两个公式等值:

   判断公式的类型:

8. 复合联结词:

   n元真值函数

   8个联结词的全功能集

9. 范式:

   对偶式 & 对偶原理

   文字

   简单析取式

   简单合取式

   析取范式

   合取范式

   范式

   公式A的析取范式 & 公式A的合取范式

   求析取范式 & 合取范式:
   主要就是将其中的蕴含和等值全部化掉就好!
   而后找到其中的析取范式 & 合取范式的组合!

10. 极小项 & 极大项

    主析取范式

    主合取范式

    以及这两个的求法:

    1. 先求析取范式（合取范式）

    2. 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析 取（极大项的合取）
       注意这里是单独拿出来化, 通常要使用无中生友大法

    3. 极小项（极大项）用名称mi（Mi）表示，并按角标从小到大顺序排序.

11. 8条推理定律:

    推理定律是一定正确的推理, 就这么来理解!

12. 3种不同的证明方法, 需要明确要如何证明:

    直接证明法

    附加前提证明法

    归谬法(反证法)

第二章:

1. 基础概念:

   个体(个体词)
   个体常项
   个体变项
   个体育:

   • 有限个体域
   • 无限个体域
   • 全总个体域

   谓词
   谓词常项
   谓词变项
   一元谓词
   多元谓词
   0元谓词

   量词
   全称量词
   存在量词

   命题符号化的技巧:
   命题逻辑与一阶逻辑的区别, 就是一阶逻辑将命题逻辑中的个体域谓词分开来, 仅此而已

2. 基础概念:

   字母表
   项
   原子公式
   合式公式(谓词公式 或 公式)

   指导变项
   辖域
   约束出现
   自由出现

   封闭的合式公式

   换名规则

   解释I

   逻辑有效式(永真式)
   矛盾式
   可满足式

   代换实例
   代换实例的定理

3. 一阶逻辑等值式:

量词否定等值式
量词辖域收缩等值式
量词辖域扩张等值式
量词分配等值式

​ 命题的两种形式符号化:
​ PPT P29
​ 即用两种不同的两次修饰的命题
​ 通常是根据题目推出其中一种, 而后在使用上头的辖域收缩&扩张来转化为另一种

这里说明一下 蕴含 & 合取 的区别:
蕴含: 就和前头的推理一样, 是如果A则B
合取: A且B , 和蕴含完全不一样
所以这里通常是先推出蕴含 , 而后在转化为合取

​

4. 前束范式
   注意这里的i的取值范围

   注意两种不是的情况:

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   前束范式存在定理

   求公式的前束范式:

   注意: 蕴含 & 等价 中的个体变项不是同一个, 即使他们的符号相同

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-RT1xQS1S-1579571843366)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191229161519053.png)]

第四章:

1. 基础概念:

有序对(有序二元组)
有序n元组

笛卡尔积
笛卡尔积的5个性质
笛卡尔积的运算&证明:
注意AxB得到的二元关系<x,y>中, x一定属于A, y一定属于B

二元关系(关系)
A到B的二元关系
A上的二元关系
空关系
全域关系
恒等关系
小于等于关系
整除关系
包含关系
关系矩阵
关系图

定义域
值域
域

2. 关系的四种运算:

   逆
   合成
   限制: 相当于限制的定义域
   像

3. 关系的4+4+2+2种运算规则:
   这个都很好理解!

4. 5种关系:

   自反, 反自反, 对称, 反对称, 传递

   注意: 没有体现出定义中的内容的也算, 只要不违反定义的都算!:
   所以:

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7uh9yl3T-1579571843367)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191229181848123.png)][外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-E33s43QE-1579571843368)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191229181856232.png)]

   关系的证明套路:

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   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2kanhQie-1579571843370)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191229182238267.png)]

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ES1rhFQX-1579571843371)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191229182244162.png)]

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6ZQf6VVu-1579571843372)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191229182248786.png)]

5. 闭包

   闭包的构造方法

6. 等价关系

   x关于R的等价类(等价类)
   等价类的4个性质

   A在R下的商集

   划分块

   划分块的判定

   划分块与等价关系

7. 偏序关系

   偏序集

   可比 & 盖住

   全序集

   哈斯图:
   最小元 & 最大元
   极小元 & 极大元
   上界 & 下界
   上确界 & 下确界

8. 函数

   B上A的计算

   函数的像
   A’在f下的像

   满射
   单射
   双射
   满射 & 单射 & 双射 的判定

   构造从A 到 B的双射函数
   三种构造的类型

   各种和高数中相同的函数:
   常函数
   恒等函数
   单调函数
   特征函数
   自然映射

9. 函数的复合与反函数

   复合& 单射双射满射

   反函数 & 单射双射满射

   函数复合与反函数的计算

第五章:

1. 二元运算

运算的封闭性

N元运算

运算满足的3个律:
交换律
结合律
幂等律
消去律

两个算符的满足关系:
分配律
吸收律

2. 幺元
   零元
   逆元
   三个元的唯一性

   求运算的三个元
   满足定义即可, 用定义推

   给出运算表判定运算满足的律:
   交换律：运算表关于主对角线对称
   结合律: 没有明显特点
   幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致
   消去律：所在的行与列中没有重复元素

   给出运算表找出三个元:
   单位元: 所在的行与列的元素排列都与表头一致
   如其中的b:

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-hlS2UXcT-1579571843373)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191230090309211.png)]

   零元： 元素的所在的行与列都由该元素自身构成
   如其中的c:

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sBSDrhOT-1579571843374)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191230090333939.png)]

   a 的可逆元：a 所在的行中某列 (比如第 j 列) 元素为 e，且第 j 行 i 列的元素也是 e，那么 a 与第 j 个元素互逆
   如图中的a:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-SCeuooxb-1579571843375)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191230090607531.png)]

​
​
3. 代数系统:

代数系统(代数)
特异元素(代数常数)
子代数系统(子代数)
平凡的子代数
真子代数

同态映射(同态)
同态象

注意: 同态本质上是一种映射(函数)

6种同态:
满同态
单同态
同构
自同态
零同态
自同构
单自同态

判断代数系统的同态:
还是从定义入手

同态的各种性质:
仅适用于满同态, 或是在同态象中成立

• 分配律, 吸收律, 交换律不变, 从V1同步映射到V2
• 三个元通过同态从V1映射到V2中
• 同态映射不一定能满足消去律成立

证明V1到V2的同构的存在/不存在:
反证…先假设, 在证出矛盾

第六章:

1. 基础概念:

   半群
   含幺半群(独异点)
   可交换半群(可交换独异点)

   群
   交换群(阿贝尔群)
   无限群
   有限群
   群的阶

   独异点的幂运算的定义

   元素x的阶
   无限阶的元素

   群的幂运算的性质

   群的消去律

   群的运算表の特点

   子群
   子群的判定
   元素x生成的子群

   群的中心

   循环群
   n阶循环群
   无限循环群

   n元置换
   m阶轮换
   n元置换群

2. 环
   交换环
   含幺环
   左零因子
   右零因子
   无零因子环
   整环
   除环
   域

   判定给定的集合与运算是否构成各种环(普通换, 整环, 除环, 域等):

   在环中的计算规则与具体计算:
   由于整数环, 有理数环, 实数环都是环, 所以直接当成普通计算就好

3. 格
   格的判定:

> 这里和之前的偏序关系中的有一点区别
>
> 这里是将S中的任意两个元素组成一个二元集合, 而后求这个二元集合的所有最大元与最小元(即都能被二元集合中的两个元素访问的元素, 和都能访问这两个元素的元素)
>
> 而后在根据此求出选定的二元集合的最大下界和最少上界
>
> 如果能求出, 则是格, 求不出则不是

对偶原理
对偶命题

格的算律:
只要是格, 其中的求最大下界和最小上界的运算适合交换律, 结合律, 幂等律和吸收律

分配格

全下界
全上界
有界格

> 所有的有限元的格都是有界格

补元
有补格
有界分配格中补元的唯一性

**通过哈斯图来求补元:**

布尔格(布尔代数)

第七章:

1. 基础概念:

   多重集
   无序积

   无向图
   顶点集
   顶点(节点)
   边集
   无向边(边)

   空图
   基图

   有向图顶点集
   顶点(节点)
   边集
   有向边(边)

   n阶图
   零图
   平凡图

   端点
   关联
   孤立点
   环
   关联次数
   相邻

   始点
   终点端点
   关联
   孤立点
   环
   领接到
   相邻

   度数(度)
   入度
   出度

   悬挂顶点
   悬挂边

   最大度Δ(D)
   最小度δ(D)
   最大出度Δ⁺(D)
   最大入度Δ^-(D)
   最小出度δ⁺(D)
   最小入度δ^-(D)

   握手定理

   度数序列

   握手定理的应用: 通过握手定理判定能否构成图

   平行边
   重数
   有向平行边(平行边)
   多重图
   简单图

   n阶无向完全图K_n
   n阶有向完全图

   子图
   母图
   生成子图
   真子图
   V1的导出子图
   E1的导出子图

   补图

   图的同构

2. 通路
   起点
   终点
   长度
   回路

   初级通路
   简单通路
   复杂通路

   初级回路(圈)
   简单回路
   复杂回路

   通路定理
   推论
   回路定理
   推论

   连通
   可达

   连通图
   非连通图
   连通分支P(G)

   弱连通图(连通图)
   单向连通图
   强连通图

   这里的判定比较重要

   删除点与删除边的规则

   点割集
   割点
   边割集(割集)
   割边(桥)

   几个特殊的图的点割集和边割集

3. 关联矩阵

   无向图的关联矩阵M(G)
   有向图的关联矩阵M(D)

   有向图的领接矩阵

   A^L的表示含义

   通过几个矩阵与A^L计算通路和回路的个数:

   有向图的可达矩阵P(D)

4. 最短路径&关键路径

   Dijkstra算法
   通过这个算法求最短路径

   PERT图
   PERT图中的几个符号

   通过PERT图求最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间以及关键路径:
   注意这里的格式问题

第八章:

1. 二部图(偶图)

互补顶点子集
完全二部图(完全偶图) K_m,n

二部图的快速判定 (无奇圈定理)

匹配
极大匹配
最大匹配
匹配数β₁(G) 或 β₁

饱和点
非饱和点

完美匹配

即M中的边关联了V中的所有点

V₁ 到V₂的完备匹配

这几个的关系需要注意一下

Hall定理 (判定完备匹配的充要条件)
T条件 (完备匹配的另一个充要条件)

2. 欧拉回路(欧拉通路)

   欧拉图

   欧拉图的判定方法:
   无向图有欧拉回路的快速判定
   无向图有欧拉通路的快速判定
   有向图有欧拉回路的快速判定
   有向图有欧拉通路的快速判定

3. 哈密顿回路(哈密顿通路)
   哈密顿图
   半哈密顿图

   哈密顿图的必要非充分条件
   推论: 哈密顿通路的必要非充分条件

   针对无向简单图的:
   哈密顿图的充分条件
   哈密顿通路充分条件

   针对n阶有向图:
   哈密顿通路的充分条件

   哈密顿图的判定:

4. 平面图

   无限面(外部面)
   有限面(内部面)
   面R的边界
   面R的次数 deg®

   写出平面图中各个面的边界

   边数与面数的关系

   极大平面图
   极小非平面图
   简单平面图

   4个极大平面图的性质:

   • 简单平面图中无不相邻的点时, 就成为了极大平面图
   • 极大平面图必连同
   • 阶数>=3的极大平面图不可能有割点或桥
   • 任何阶数>=4的极大平面图G都有δ(G)>=3

   欧拉公式:
   |V| - |E| + 面数 = 2

   欧拉公式的推广:

   |V| - |E| + 面数 = P(G) + 1

   可利用欧拉公式证明一个图是否是平面图

   欧拉公式的推广:

   |E| <= |E| ( |V| - P(G) - 1 ) / ( L - 2 )

5. 插入二度顶点
   消去二度顶点
   同胚

   收缩边
   G₁可收缩到G₂

   平面图的两个快速判定法则(库拉图斯基定理):
   不与K₅和K_3,3同胚
   不可收缩到K₅和K_3,3

   证明图为非平面图:

   对偶图
   对偶图的作图规则
   对偶图的构建定理

   四色定理

第九章:

1. 基础概念:

   无向树(树)
   森林
   平凡树
   树叶
   分支点

   树的6个充要条件(等价定义)

   通过给定的条件画出符合要求的所有同构树
   使用树的定义与握手定理

   n阶平凡树定理

   生成树
   树枝
   弦
   余树

   生成树定理

   生成树的画法

   基本回路C_e
   基本回路系统
   基本割集S_a
   基本割集系统

   求基本割集的算法

   给定无向图与生成树, 求基本割集系统
   根据定义和技巧可以很快的确定

   最小生成树问题
   避圈法(Kruskal算法)

   给定图, 求最小生成树

2. 有向树
   根树
   树根
   树叶
   内点
   分支点
   层数 L(v)
   树高h(T)

   家族树

   根子树

   有序数

   几个根树的分类特点:
   有序
   r叉
   正则
   完全
   其可以组成6种树

   二叉树的权值
   最优二叉树

   Huffman算法求最优二叉树

   使用Huffman算法求最佳前缀码:

第十一章:

1. 基础概念:

   字母表Σ
   字符串
   长度
   空串ε
   字符串的全体Σ^*
   形式语言(语言)
   字符串的前缀
   字符串的后缀
   子字符串(子串)
   字符串的连接

2. 形式文法:
   V: 非终极符(变元)
   T: 终极符
   S: 起始符
   P: 产生式(改写规则)

   直接派生 ω₁ → ω₂
   派生ω₁ →^* ω₂

   文法生成的语言
   文法等价

   给定文法, 证明某个派生是否成立

3. 形式文法的分类:

   0型文法(短语结构文法, 无限制文法)
   0型语言

   1型文法(上下文有关文法)
   1型语言(上下文有关语言)

   2型文法(上下文无关文法)
   2型语言(上下文无关文法)

   左线性文法
   右线性文法
   3型文法(正则文法)
   3型语言(正则语言)

   4种文法的包含关系:
   0型语言>1型语言>2型语言>3型语言

   文法&语言的判定

   左右线性文法的等价性

   利用左右线性文法的等价性互相模拟:

   构造对应的左/右线性文法:

   实际上就是通过给定的左/右线性文法中的4个组成推出所求的左/右线性文法的相应组成:

   1. V’ = V U S’

   2. T’ = T

   3. S 与 S’互不相干

   4. P’ 的求法如下

   其实就是将左右线性文法中的终止符拖到对面去就好

   而后在最后加上 S’ → S , S → ε , 将其消去即可

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-A7IgO9tx-1579571843376)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20200102195833658.png)]

4. 确定型有穷自动机(DFA)

有穷自动机的组成(有序五元组)

注意δ: Q X Σ → Q

有穷自动机的状态转移图表示方法
状态转移函数的表示方法δ(q₀, a) = q₁
状态转移函数δ的扩展δ^*
有穷自动机接收的语言L(M)

非确定型有穷自动机(NFA)
NFA组成

差别仅仅是δ: Q X Σ → P(Q)

非确定型有穷自动机M接收的语言L(M)
NFA状态转移函数的推广δ^*

DFA 与 NFA 等价的判定规则
构造DFA模拟NFA:

通用步骤:

1. 首先是根据NFA中的几个组成推出DFA的相应组成:

   设构造的DFA为M’ = <Q’ , Σ’ , δ’ , q₀’ , F₀’ >

   • Q’ = P(Q) 即等于Q的幂集

     这里就决定了DFA中的Q’ 存在由 Q 中的状态组成的复合状态, 如{ q₀, q₁ }

   • Σ’ = Σ

   • δ’ (A, a) 其中A∈Q’ = U δ( q , a ) , 其中 q∈A

     由于A可能是有 Q 中的状态组成的复合状态, 如{ q₀, q₁ } , 所以这里的每一个δ’ 可能由多个对应的δ 构成

   • F’ 由所有含有M的终结状态的子集组成

     即Q’ 中所有含有 F 中的元素的子集的集合

     如: { {q₀} , { q₀ , q₁ } }

2. 而后画出DFA的状态转移图, 从中确定不可能达到的状态, 并将其中Q’ 中删去

以上…

带ε转移的非确定型有穷自动机の定义:

就是比NFA在δ中多了一个{ ε } , 有 δ : Q x ( Σ U { ε } ) → P(Q)

带ε 与不带ε 的NFA 等价定理

构造DFA模拟ε-NFA:

通用套路:

其他步骤和DFA模拟NFA相同, 这里只是需要将Q’ 中的每个元素换成其对应的ε闭包即可:

ε闭包求法, 主要是根据其定义来:

1. E(q)包含q
2. 如果p∈E(q), 则δ(p, ε)∈E(q).

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-pTshwY3u-1579571843378)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20200102194605626.png)]

5. 有穷自动机和正则文法的等价性定理:

   • 设G是右线性文法, 则存在ε-NFA M 使得L(M)=L(G);

   • 设M是DFA, 则存在右线性文法G使得L(G)= L(M).

6. 图灵机:

   图灵机™ M=< Q , Σ , Γ , δ , q₀ , B , A >, 其中
   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-1tevivq2-1579571843379)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20200102201939883.png)]

   [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Y1rs5ZhV-1579571843380)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20200102201951323.png)]

   其他的部分直接看PPT, 不做摘记了

A中的Q’ 存在由 Q 中的状态组成的复合状态, 如{ q₀, q₁ }

- Σ' = Σ 

- δ' (A, a) 其中A∈Q'  = U δ( q , a )   , 其中 q∈A

	由于A可能是有 Q 中的状态组成的复合状态, 如{ q~0~, q~1~ } , 所以这里的每一个δ' 可能由多个对应的δ 构成

- F' 由所有含有M的终结状态的子集组成

	即Q' 中所有含有 F 中的元素的子集的集合 

	如: { {q~0~} , { q~0~ , q~1~ } }

2. 而后画出DFA的状态转移图, 从中确定不可能达到的状态, 并将其中Q’ 中删去

以上…

带ε转移的非确定型有穷自动机の定义:

就是比NFA在δ中多了一个{ ε } , 有 δ : Q x ( Σ U { ε } ) → P(Q)

带ε 与不带ε 的NFA 等价定理

构造DFA模拟ε-NFA:

通用套路:

其他步骤和DFA模拟NFA相同, 这里只是需要将Q’ 中的每个元素换成其对应的ε闭包即可:

ε闭包求法, 主要是根据其定义来:

1. E(q)包含q
2. 如果p∈E(q), 则δ(p, ε)∈E(q).

[外链图片转存中…(img-pTshwY3u-1579571843378)]

5. 有穷自动机和正则文法的等价性定理:

   • 设G是右线性文法, 则存在ε-NFA M 使得L(M)=L(G);

   • 设M是DFA, 则存在右线性文法G使得L(G)= L(M).

6. 图灵机:

   图灵机™ M=< Q , Σ , Γ , δ , q₀ , B , A >, 其中
   [外链图片转存中…(img-1tevivq2-1579571843379)]

   [外链图片转存中…(img-Y1rs5ZhV-1579571843380)]

   其他的部分直接看PPT, 不做摘记了

来源：CSDN

作者：Janus_V

链接：https://blog.csdn.net/qq_42683011/article/details/104058941