线性代数学习笔记——矩阵

1.引出

在利用Gauss消元法求解线性方程组的过程中，参与运算的只是其中的系数和常数项，将这些系数和常数项写成"表格"的形式来表示求解的过程，于是引入矩阵的概念。

2.定义

矩阵及其初等行变换

 ①矩阵

$\left( \begin{matrix} a11 &a12 &\cdots &a1n \\ a21 &a22 &\cdots &a2n \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ as1 &as2 &\cdots &asn \end{matrix} \right)\tag{1}$

• a_ij称为矩阵的元素。元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵。如果s=n，则(1)式中的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵
• 两个矩阵完全相同时(行数相同，列数相同，对应元素相同)，称他们相等
• 两个或两个以上矩阵，行数相同，列数相同，称它们为同型矩阵

 ②初等行变换

 对矩阵所作的下述变换称为矩阵的初等行变换：

• 互换矩阵两行的位置
• 用一不等于零的数乘以矩阵某行的所有元素
• 将矩阵的一行换成该行与另一行的同一个倍数之和

阶梯型矩阵

 如果矩阵A满足下述两个条件，则称A是阶梯型矩阵:

• 如果A有零行(每个元素都等于零的行)，则零行全位于A的下方
• A的每个非零行的非零首元(从左往右第一个不为零的数)必位于上一行的非零首元的右边

 如果阶梯型矩阵A还满足下面两个条件，则称A是简化阶梯型矩阵:

• A的每个非零首元都等于1
• 除了非零首元外，非零首元所在列的其余元素都等于零

可逆矩阵

 ①行列式的乘法定理

 设A,B都是n阶方阵，则$|AB| = |A||B|$

 ②可逆矩阵

 设A是n阶方阵。若存在n阶矩阵B，使得
$AB = BA = E$

则称A是可逆的，称B是A的可逆矩阵。

 ③伴随矩阵

 设n ≥ 2。n阶方阵A = (a_ij)_nxn。记A_ij是A中第i行第j列元素a_ij的代数余子式。则称矩阵
$\left( \begin{matrix} A11 &A21 &\cdots &An1 \\ A12 &A22 &\cdots &An2 \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ A1n &A2n &\cdots &Ann \end{matrix} \right)\tag{2}$
为A的伴随矩阵,并用符号A^*表示
注意,在上面的定义中，A_ij不是a_ij的余子式，而是a_ij的代数余子式。而且，A^*中的第i行第j列元素不是A_ij,而是A_ji。

分块矩阵

 ①矩阵加减法分块原则

 设A,B都是mxn矩阵，只要两个矩阵的行和列的分块方式完全一致即可。

 ②矩阵数乘分块原则

 矩阵分块并无特殊要求，用数乘以矩阵的每一个分块。

 ③矩阵乘法分块原则

 设A是mxn矩阵，B是nxk矩阵，只要矩阵A的列的分块与矩阵B的行的分块完全一致，不管A的行与B的列如何分。

 ④矩阵转置的分块原则

 设A是mxn矩阵，对A的任意分块方式，均有
$A= \left( \begin{matrix} A_{11} &A_{12} &\cdots &A_{1t} \\ A_{21} &A_{22} &\cdots &A_{2t} \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ A_{s1} &A_{s2} &\cdots &A_{st} \end{matrix} \right), A^T= \left( \begin{matrix} A_{11} ^T&A_{21}^T &\cdots &A_{s1}^T \\ A_{12}^T &A_{22}^T &\cdots &A_{s2}^T \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ A_{1t}^T &A_{2t}^T &\cdots &A_{st}^T \end{matrix} \right),$

矩阵的秩

 ①秩的概念

• 设A是sxn矩阵，k(k$\le$s,n)是正整数。任取A的k行、k列，这些行和列交叉处的k²个元素按原有的相对次序所构成的k阶行列式称为A的k阶子式。
• 设A是sxn矩阵，r(r$\le$s,n)是正整数。如果A中存在非零的r阶子式，但A中阶数更高的子式(如果存在的话)都等于零，则称A的秩等于r，记为r(A)=r。

 ②初等变换和矩阵的秩

• 初等变换不改变矩阵的秩

 ③矩阵的等价标准型

• 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。
• 如果矩阵A经过一些初等变换变成B，则称A等价于B，记为A$\rightarrow$B
• 等价关系满足反身性、对称性、传递性
• 如果矩阵A$\rightarrow$B，则r(A) = r(B)
• 设s×n矩阵A的秩如果为r，将矩阵A作初等变换可化为
  $E_{s×n}^{(r)}= \left( \begin{matrix} E_r &0 \\ 0 &0 \end{matrix} \right)$
  称$E_{s×n}^{(r)}$为A的等价标准型。
• 一个矩阵的等价标准型由其秩唯一确定
• 设A,B都是s×n矩阵，则A$\rightarrow$B当且仅当r(A) = r(B)

初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

 ①初等矩阵与矩阵的乘积

• 对s×n矩阵A作一次初等行变换相当于在A的左边乘以一相应的初等矩阵；对A作一次初等列变换相当于在A的右边乘以一相应的初等矩阵

 ②用初等变换求逆矩阵

• 方阵A是可逆的当且仅当A可以写成初等矩阵的乘积
• 设A,B都是s×n矩阵，则A$\rightarrow$B的充分必要条件是存在s阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得B = PAQ
• 对于s×n矩阵A,B,r(A) = r(B)的充分必要条件是存在可逆矩阵P,Q,使得B = PAQ
• 设A是s×n矩阵，则r(A) = r当且仅当存在s阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得A = P$E_{s×n}^{(r)}$Q

 ③矩阵的代数运算与矩阵的秩

• 设A,B都是s×n矩阵，则
  $r(A),r(B)\le r \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) \le r(A) + r(B)$
• 设A,B都是s×n矩阵，则$r(A+B)\le r(A) + r(B)$
• 当矩阵A,B的乘积有意义时，$r(AB)\le r(A),r(B)$
• 设A,B分别是s×n和n×t矩阵，则$r(AB)\ge r(A) + r(B) - n$
• 设A,B分别是s×n和n×t矩阵，如果AB = 0，则$r(A) + r(B)\le n$

3.性质

矩阵的代数运算

 ①矩阵的线性运算

• 设s×n矩阵A = (a_ij)_s×n，B = (b_ij)_s×n。矩阵C = (a_ij + b_ij)_s×n称为A与B的和，记为C = A + B
• 矩阵加法性质：
   交换律:$A + B = B + A$
   结合律:$(A + B) + C = A + (B + C)$
   $A + 0 = A$
   $A + (-A) = 0$
• 设A =(a_ij)_s×n，k是数。称矩阵(ka)_s×n为k与A的数乘，记为kA
• 矩阵线性运算性质:
   $1A = A$
   $k(lA) = (kl)A$
   $(k + l)A = kA + lA$
   $k(A + B) =kA +kB$
   $kA = 0当且仅当k = 0或A = 0$

 ②矩阵的乘法运算

• 设m×s矩阵A = (a_ij)_m×s，s×n矩阵B = (b_ij)_s×n。当$1\le i \le m$,$1\le j \le n$时，记
  $c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots +a_{is}b_{sj},$
  称m×n矩阵C = (c_ij)_m×n为A与B的乘积，记为AB
• 如果AB = BA，则称A与B是可交换的
• A ≠ 0且B ≠ 0时，AB可能会等于零矩阵
• 矩阵乘法运算性质:
   结合律:$(AB)C = A(BC)$
   分配律:$A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC$
   $(kA)B = k(AB) = A(kB)$
• A为方阵时，可以定义矩阵A的方幂
  $A^1 = A, A^2 = AA, \cdots, A^k = AA...A(k个A)$
• 对于方阵A，A的方幂具有下述性质:对任意正整数k,l
   $A^kA^l = A^{k+l}$
   $(A^k)^l = A^{kl}$
  当A时方阵时，定义A的多项式:设多项式
  $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0,$
  规定
  $f(A) = a_nA^n + a_{n-1}A^{n-1} + \cdots + a_1A + a_0E$

 ③矩阵的转置

• 设s×n矩阵A = (a_ij)_s×n，A的转置是一个n×s矩阵，其第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素a_ji。A的转置矩阵记为A^T
• 矩阵转置性质:
   $(A^T)^T =A$
   $(kA)^T = kA^T$
   $(A+B)^T = A^T+B^T$
   $(AB)^T = B^TA^T$

 ④矩阵的共轭*

 略

可逆矩阵的性质

 ①可逆矩阵与伴随矩阵

• 设n ≥ 2。A^*是n阶方阵A = (a_ij)_nxn的伴随矩阵，则
  $AA^* = A^*A = |A|E$
• 设A是n阶方阵，则A是可逆的当且仅当A的行列式|A| ≠ 0.并且，若n ≥ 2且|A| ≠ 0，则
  $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$
  其中A^*是A的伴随矩阵。

 ②可逆矩阵的性质

• 对于方阵A，若存在矩阵B，使得AB = E，则A是可逆的，并且$B = A^{-1}$
• 若A是可逆矩阵，则A^-1也是可逆的，并且$(A^{-1})^{-1} = A$
• 若A是可逆矩阵，则A^T也是可逆的，并且$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• 若A是可逆矩阵，数k ≠ 0，则kA也是可逆的，且$(kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$
• 对于同阶方阵A,B,乘积AB是可逆的当且仅当A,B均可逆。并且，当AB可逆时，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

4.线性方程组的求解

• Cramer法则
• Gauss消元法
• 齐次线性方程组有非零解的充要条件是，其系数行列式等于0

来源：CSDN

作者：_V.O.N_

链接：https://blog.csdn.net/weixin_44279668/article/details/104010502