矩阵论

矩阵论札记. 梁昌洪 . 2014学习概要

文章目录

矩阵论

第1部分线性基础
第2部分矩阵代数
第3部分线性方程组
第4部分矩阵空间
第5部分本征问题与二次型
第6部分矩阵变换
第7部分矩阵应用

第1部分线性基础

矩阵3大特点:

矩阵是线性的
矩阵是离散的
矩阵是代数和几何交融的

行列式

$n$ 阶行列式 $D$ 的值为
$D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right | = \sum_{t=0}^{n!} (-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$
其中 $(p_1, p_2, \cdots, p_n)$ 是 $(1, 2, \cdots, n)$ 的一个排列, $t$ 为该排列的逆序数.

行列式的性质

性质1: $D^T = D=det(a_{ij})$

性质2: 更换行列式的行(或列), 行列式变号
推论: 若行列式两行(或列) 完全相同, 则行列式为 $0$

性质3: 行列式某行(或列)乘以一个系数 $k$ , 则行列式的值变为原来的 $k$ 倍
推论: 行列式的行(或列)有相同公因子, 则可提到行列式前

性质4: 行列式的某行(或列)的元素为两数之和, 则可认为是两个行列式之和

性质5: 行列式中某两列(或行)成比例, 则行列式的值为 $0$

性质6: 把行列式中的一行(或一列)乘以一个系数加到玲一行(或一列), 行列式的值不变

Laplace定理: 行列式的另一展开定理

Laplace定理是更加广义的行列式展开定理, 需要用到两个概念:

余子式

代数余子式

Gramer法则

对于线性方程组 $Dx=b$ , 若 $D \neq 0$ , 则方程组有唯一解:
$x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}, \cdots, x_n = \frac{D_n}{D}$
其中
$D_{j} = \left| \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} &b_1& a_{1, j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2, j-1} &b_1& a_{2, j+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & &\vdots & \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n, j-1} &b_1& a_{n, j+1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | \qquad j = 1, 2, \cdots, n$
如果线性方程组无解或有两个不同的解, 则起系数行列式 $D=0$ .

齐次线性方程组的解: 非零解的存在性

如果线性方程组 $Dx=b$ 中, $b=0$ , 则称该方程组为齐次线性方程组, 此时 $\bm{x}=0$ 为该方程组的一个解, 称零解; 若齐次线性方程组存在非零解, 则必有 $D=0$ . 即 $D=0$ 是齐次线性方程组有非零解的充要条件.

此外, 齐次线性方程组的非零解必定是无穷多解

第2部分矩阵代数

基本概念:

矩阵

n阶方阵

列矩阵(1维向量)

1行n列的矩阵称为行阶方阵

零矩阵

同型矩阵, 行列数相等的矩阵

相等矩阵, 对应元素相等的同型矩阵

广义上, 矩阵是一个线性变换

线性变换(矩阵是一个变换, 且是线性变换)

恒等变换: 单位矩阵

对角变换: 对角矩阵

矩阵运算

矩阵加法 (必须为同型矩阵)

数乘运算 (和行列式区别开, 矩阵乘以一个数, 等于矩阵中的每个元素乘以该数)

矩阵乘法: 矩阵 $A$ 乘以矩阵 $B$ , 必须满足 $A$ 列数= $B$ 行数; 一般矩阵乘法不满足交换律; 矩阵乘法满足结合律

幂运算

矩阵转置
- 性质1: 主对角元素不变
- 性质2: $(A^T)^T=A$
- 性质3: $(A+B)^T = A^T + B^T$
- 性质4: : $(kA)^T = kA^T$
- 性质5: $(AB)^T = B^TA^T$

共轭矩阵: 若矩阵 $A=(a_{ij})$ 元素为复数, $\overline{A} = (\overline{a_{ij}})$ 称为矩阵 $A$ 的共轭矩阵
- 性质1: $\overline{\overline{A} } = A$
- 性质2: $\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$
- 性质3: $\overline{kA} = \overline{k}\overline{A}$
- 性质4: $\overline{AB} = \overline{A}\overline{B}$