线性方程组


线性代数之线性方程组

眉间皱痕 提交于 2019-12-21 16:52:10
[作者:byeyear,首发于cnblogs.com,转载请注明。联系:east3@163.com] 回忆学校的美好时光,顺便复习一下学校学过的知识吧。 1. 三种行初等变换 倍加变换 (某一行的倍数加到另一行) 对换变换 (两行交换) 倍乘变换 (某一行所有元素乘以同一个非零数) 2. 行等价 一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。 行变换可逆。 3. 若两个线性方程组的增广矩阵行等价,则它们有相同的解集。 4. 简化行阶梯矩阵 a) 非零行的先导元素为0 b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素 一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。 5. 对应于主元列的变量称基本变量,其他变量称自由变量。 6. 向量的平行四边形法则 若R 2 中的向量u,v用平面上的点表示,则u+v对应于u,v,0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。 [思考:即使u,v不是R 2 而是R 3 甚至R n 中的向量,上述结论是否仍然成立?] 7. 向量方程 x 1 a 1 +x 2 a 2 +...+x n a n=b 和增广矩阵如下的线性方程组 [a 1 a 2 ... a n b] 和矩阵方程 Ax=b 有相同的解集。 8. 方程Ax=b有解的条件:b是A的各列的线性组合。 9. 设A为mxn矩阵,以下命题等价: a) 对R m 中每个b,Ax=b有解 b) R m 中的每个b都是A的列的一个线性组合

线性代数学习笔记二

﹥>﹥吖頭↗ 提交于 2019-12-20 02:28:06
线性代数学习笔记二 /*--> */ /*--> */ */ /*--> */ */ /*--> */ 线性代数学习笔记二 目录 1. 线性方程组 1.1. 行化简与阶梯型矩阵 1.1.1. 主元位置 1.1.2. 线性方程组的解 1.2. 向量方程 1.3. 矩阵方程 1.4. 线性方程组的解集 1 线性方程组 矩阵记号是为解方程组带来方便。 解方程组,消元法。 三种基本变换对应于增广矩阵的下列变换: 行初等变换 (倍加变换 replacement) 把某一行换成它本身与另一行的倍数的和 (对换变换 interchange) 把两行对换 (倍乘变换 scaling) 把某一行的所有元素乘以同一个非零数 行变换可应用于任何矩阵.如果一个矩阵可以经过一系列行初等变换变成另一个矩阵,则称这两个矩阵是行等价的。 行变换是可逆的。 线性方程组的两个基本问题: 方程组是否相容,即它是否至少有一个解? 若它有解,是否只有一个解,即解是否唯一? 1.1 行化简与阶梯型矩阵 非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列,非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。 一个矩阵称为阶梯型,则有以下三个性值: 1 每一非零行在每一零行之上 2 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右面 3 某一先导元素所在列下方元素都是零。若一个阶梯型矩阵还满足以下性质,则称它为简化阶梯形: 4

线性代数回头看——线性方程组

大兔子大兔子 提交于 2019-12-20 02:27:44
1、线性方程组概述 线性方程组: 包含未知数x1,x2,x3....xn的线性方程   其中b与系数a1,a2,a3...an是实数或复数,通常是已知的;下标n可以为任意数;线程方程组为由一个或几个包含相同变量x1,x2,x3....xn的线性方程组组成; 线性方程组的解分为相容、与不相容两种情况;    相容: 1、唯一解;2、无穷解    不相容: 无解 线性方程组矩阵表示   可以使用矩阵来表示线性方程组:    系数矩阵: 只包含方程组系数的矩阵    增广矩阵: 在系数矩阵的基础上加上线性方程组右边的常数组成的矩阵 2、解线性方程组   通过使用矩阵表示线性方程组,对矩阵使用行初等变换,把矩阵行化简为:行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵; 初等行变换:   1、倍加变换——把某行换成它本身与另一行的倍数和   2、对换变换——两行对换   3、倍乘变换——某一行的所有元素乘以同一个非零数 行阶梯形矩阵:   1、每一非零行在每一零行之上   2、某一行的最左边非零元素所在列在上面一行非零元素的右边   3、某一最左边非零元素所在列下方都是零   简化阶梯形为在行阶梯形矩阵的基础上进一步简化:   1、每一非零行最左边非零元素为1   2、每一最左边非零元素1是该元素所在列的唯一非零元素 同一个矩阵使用不同的方法化简,存在不同的行阶梯形,但简化阶梯形只存在一个;

线性方程组求解

眉间皱痕 提交于 2019-12-17 22:36:34
1.矩阵基本知识 (1)正交矩阵相乘仍然是正交矩阵 A、B是正交矩阵,那么AA'=E BB'=E (AB)*(AB)'=AB*B'A'=A(BB')A'=AEA'=AA'=E (2)一个矩阵乘以正交矩阵,范数不变 ||Ux||^2=(Ux)^T(Ux)=x^TU^TUx=x^Tx=||x||^2 (3)一个矩阵乘以可逆矩阵秩不变 (4)初等变换只是不影响矩阵的秩,其他的特性都改变了。对于计算矩阵的行列式,不能进行初等变换,但是可以做行列的进 加减,不能乘以系数。 (5)矩阵的迹:矩阵的主对角线上各个元素的总和,是矩阵所有特征值的和 (6)对角矩阵的特征值是其对角线上的各个元素 (7)矩阵的秩等于非零奇异值的个数,等于非零特征值的个数 (8)任意矩阵都能进行奇异值分解,只有方阵才可以进行特征值分解 特征值分解: 如果一个向量 v 是方阵 A的特征向量,将可以表示成下面的形式: Av= λv,λ 称为特征向量 v 对应的特征值,并且一个矩 阵的 一组特征向量是一组正交向量。 特征值分解:Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵,Σ是一个对角阵,每一个对角线上的元素就是一个特征值 奇异值分解: 假设A是一个N * M的矩阵,U是一个N * N的方阵(正交矩阵),Σ 是一个N * M的矩阵(对角线上的元素为奇异值),VT是 一个M * M的矩阵(正交矩阵) 特征值和奇异值的关系: (1)U

高斯消元解线性方程组的小东西

我的未来我决定 提交于 2019-12-06 02:18:04
#include<algorithm> #include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<math.h> int n; bool needDebug; double m[1005][1005]={0}; double x[1005]={0}; void input() { printf("请输入系数矩阵的阶数(1~1000)\n"); scanf("%d",&n); printf("请按行优先顺序输入增广矩阵(用空格、缩进或回车分割每个数字)\n"); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n+1;j++) scanf("%lf",&m[i][j]); printf("是否输出中间过程的增广矩阵?是请输入y\n"); char cc[2]; scanf("%s",cc); if(cc[0]=='y') needDebug=1; else needDebug=0; } void debug() { if(!needDebug) return; printf("**********************\n"); for(int i=1;i<=n;i++,printf("\n")) for(int j=1;j<=n+1;j++) printf("%24.20lf",m[i][j]); printf("***

用Python的Numpy求解线性方程组

北慕城南 提交于 2019-12-03 17:32:56
原文链接: http://tecdat.cn/?p=8445 在本文中,您将看到如何使用Python的Numpy库解决线性方程组。 什么是线性方程组? 维基百科将 线性方程组 定义为: 在数学中,线性方程组(或线性系统)是两个或多个涉及同一组变量的线性方程的集合。 解决线性方程组的最终目标是找到未知变量的值。这是带有两个未知变量的线性方程组的示例, x 并且 y : 等式1: 4x + 3y = 20 -5x + 9y = 26 为了解决上述线性方程组,我们需要找到 x 和 y 变量的值。解决此类系统的方法有多种,例如消除变量,克莱默规则,行缩减技术和矩阵解决方案。在本文中,我们将介绍矩阵解决方案。 在矩阵解中,要求解的线性方程组以矩阵形式表示 AX = B 。例如,我们可以用矩阵形式表示 等式1 ,如下所示: A = [[ 4 3] [-5 9]] X = [[x] [y]] B = [[20] [26]] 要查找的值 x 和 y 变量 方程1 ,我们需要找到在矩阵中的值 X 。为此,我们可以采用矩阵逆的点积 A 和矩阵 B ,如下所示: X = inverse(A).B 用numpy求解线性方程组 要求解线性方程组,我们需要执行两个操作:矩阵求逆和矩阵点积。Python的Numpy库支持这两种操作。如果尚未安装Numpy库,则可以使用以下 pip 命令: $ pip

R语言解线性方程组和求极值

匿名 (未验证) 提交于 2019-12-03 00:40:02
1、R语言矩阵函数 2、求解线性方程组 分析:使用函数solve(a,b),运算a%*%x=b得到x。 a<-matrix(c(1,1,1,-1),2,2); b<-c(3,1); solve(a,b) 运行结果 > a<-matrix(c(1,1,1,-1),2,2);b<-c(3,1);solve(a,b) [1] 2 1 注:这里矩阵a从数组读数是按照列读数 解:先求Jacob行列式(求偏导) 相应的程序(程序名为:Newtons.R)为 Newtons<-function(fun,x,ep=1e-5,it_max=100){ index<-0;k<-1; while(k<it_max){ x1<-x;obj<-fun(x);x<-x-solve(obj$J,obj$f);norm<-sqrt((x-x1)%*%(x-x1)); if(norm<ep){index<-1;break}; k<-k+1} obj<-fun(x); list(root=x,it=k,index=index,FunVal=obj$f) } 在这个函数中,输入变量有:fun是方程构成的函数,x是初始变量,ep是精度要求,缺省时为e-5,it_max是最大迭代次数,缺省为100. 输出变量有:root是方程解的近似值,it是迭代次数,index是指标,index=1表明计算成功,index

齐次线性方程组和非齐次线性方程组

匿名 (未验证) 提交于 2019-12-02 23:03:14
版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/yaoyaoqiekenaoo/article/details/84836519 定义 齐次线性方程组:等式右侧常数项全部为0 非齐次线性方程组: 等式右侧常数项不全部为0 齐次方程组的求解 将系数矩阵化为行阶梯形矩阵,记全为0的行数量为r=n-R(A)。将后r个未知数分别取值为1和0,对应的形成r个解。这些r个解的线性组合即为基础解系。 非齐次方程组的求解 分为两步:1.计算特解。将增广矩阵化为行阶梯形矩阵,将r个未知数全部取值为0,得到一个特解。 2.计算对应的齐次方程组的基础解系。 4. 方程组有解的判断条件 程序实现:列主消元法 #include<iostream> #include<cmath> using namespace std; const int n = 3; //交换2个数的大小 template<class T> void SWAP(T& a, T& b) { T c; c = a; a = b; b = c; } //高斯列主元素消元法 void gaussin_L(double a[n][n], double b[n]) { int i, j, k; int col, row; for (k = 0; k < n - 1; k++) { double ave

Python 线性方程组求解之:Jacobi迭代算法

匿名 (未验证) 提交于 2019-12-02 22:51:08
import numpy as np Delta=0.0001 #精度要求 #数据读取 data = [] f = open("H:/Notepad/数学实验/jacobi_data.txt") for line in f: line = line.replace("\n","") data.append(list(map(eval, line.split(",")))) f.close() data=np.array(data) #对data行初等变换,主元变为每列最大值 row,column=data.shape for i in range(row): max_value_index=np.argmax(np.fabs(data[i:row,i])) temp=np.copy(data[i,:]) data[i,:]=data[max_value_index+i,:] data[max_value_index+i,:]=temp #LU: -(L+U) #D:系数矩阵的对角线元素 #b:Ax=b中的b LU=np.negative(data[:,0:column-1]) D=np.zeros(row) b=data[:,column-1] for i in range(row): D[i]=data[i,i] LU[i,i]=0 #迭代求解 x=np.ones(row)

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