线性方程组

在上一篇博客里面,笔者介绍了解线性方程组的LU分解法,这篇来介绍一个新的方法,迭代法.解线性方程组的迭代法有多种,其中就有Jacobi迭代法,它的原理是什么呢?有如下的线性方程组Ax=b,可将其变形为=>Mx=Nx+b=>x=M -1 Nx+M -1 b,设B=M -1 N=M -1 (M-A)=E-M -1 A,f=M -1 b,即可得到迭代式:X (k+1) =Bx (k) +f,这里我们只需要设置一个初始的x向量,依次将前一步的x k 代入到迭代式中,就可以得到x (k+1) 的结果 关于迭代法的两个注意事项: 1.迭代法相比于其他方法在计算大型稀疏矩阵矩阵方面,是有优势的,但不意味着只能解大型稀疏矩阵 2.并非所有的线性方程组都可以用迭代法进行求解,这是因为不是所有的迭代方程都是收敛的,可能会出现的情况就是,在迭代的过程中,会出现迭代解偏离精确解的情况,并且随着迭代的次数增多,会越偏越大 3.遇到不收敛的情况,就不能用迭代法求解,可以选用前面的Guass消元法或者LU分解法 接下来看代码实现~ 老规矩,初始化 double * * init_Matrix ( int r , int c ) { double * * p = new double * [ r ] ; int d = c + 1 ; for ( int i = 0 ; i < r ; i ++ ) { p [

MATLAB线性方程组的迭代求解法 作者：凯鲁嘎吉 - 博客园 http://www.cnblogs.com/kailugaji/ 一、实验目的 1． 借助矩阵按模最大特征值，判断解方程组的 Jacobi迭代法所得迭代序列的敛散性。 2． 会在 Jacobi迭代法所得迭代序列收敛时，用修改后的Gauss-Seidel迭代法。 3． 会逐次超松驰迭代法。 二、实验原理 三、实验程序 四、实验内容 用上面前二种方法求解4元线性方程组的近似解，所选方程组尽可能可以用多种方法求得收敛解。 注：要注意判断迭代法收敛性，方法之一就是用程序求矩阵的按模最大特征值。 五、解答 1.(程序) （1）Jacobi迭代法源程序： function x=jacobi(a,b,x0,n,tol,m) x=zeros(n,1); for k=0:m for i=1:n s=0; for j=1:n if j~=i s=s+a(i,j)*x0(j,1); end end x(i,1)=(b(i,1)-s)/a(i,i); if norm(x-x0,inf)<tol break; end x0(i,1)=x(i,1); end end （2）Gauss-Seidel迭代法源程序： function x=gauss_seidel(a,b,x0,n,tol,m) x=zeros(n,1); for k=0:m for

线性方程组 解决一些实际问题的时候需要用到方程组，比如说鸡兔同笼问题。解方程组的时候一般会有三种操作：交换两个方程组、一个方程组乘上一个数、某个方程组乘上一个数加到另一个方程上，这三种操作正号对应了 矩阵的初等行变换 。 把方程组写成矩阵形式会更加方便 参考 以上图片均摘自宋浩老师视频，以方便以后自己查阅，感谢宋老师。 视频 传送门 来源： CSDN 作者： PythonFCG 链接： https://blog.csdn.net/renweiyi1487/article/details/103898640

文章目录 1 线性系统与消元法 2 高斯消元法 3 高斯-约旦消元法 4 行最简式和线性方程组解的结构 5 直观理解线性方程组解的结构 6 更一般化的高斯-约旦消元法 7 齐次线性方程组 参考资料 注：转载请标明原文出处链接： https://xiongyiming.blog.csdn.net/article/details/103897231 1 线性系统与消元法 来源： CSDN 作者： TechXYM 链接： https://blog.csdn.net/zaishuiyifangxym/article/details/103897231

MIT线代教程 http://open.163.com/movie/2010/11/7/3/M6V0BQC4M_M6V29E773.html 《转载》 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； 　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列

矩阵论 矩阵论札记. 梁昌洪 . 2014学习概要 文章目录 矩阵论 第1部分 线性基础 第2部分 矩阵代数 第3部分 线性方程组 第4部分 矩阵空间 第5部分 本征问题与二次型 第6部分 矩阵变换 第7部分 矩阵应用 第1部分 线性基础 矩阵3大特点 : 矩阵是线性的 矩阵是离散的 矩阵是代数和几何交融的 行列式 n n n 阶 行列式 D D D 的值为 D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∑ t = 0 n ! ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a n p n D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right | = \sum_{t=0}^{n!} (-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a 1 1 ​ a 2 1 ​ ⋮ a n 1 ​ ​ a 1 2 ​

[作者：byeyear，首发于cnblogs.com，转载请注明。联系：east3@163.com] 回忆学校的美好时光，顺便复习一下学校学过的知识吧。 1. 三种行初等变换 倍加变换 （某一行的倍数加到另一行） 对换变换 （两行交换） 倍乘变换 （某一行所有元素乘以同一个非零数） 2. 行等价 一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。 行变换可逆。 3. 若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则它们有相同的解集。 4. 简化行阶梯矩阵 a) 非零行的先导元素为0 b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素 一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。 5. 对应于主元列的变量称基本变量，其他变量称自由变量。 6. 向量的平行四边形法则 若R 2 中的向量u，v用平面上的点表示，则u+v对应于u，v，0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。 [思考：即使u，v不是R 2 而是R 3 甚至R n 中的向量，上述结论是否仍然成立？] 7. 向量方程 x 1 a 1 +x 2 a 2 +...+x n a n=b 和增广矩阵如下的线性方程组 [a 1 a 2 ... a n b] 和矩阵方程 Ax=b 有相同的解集。 8. 方程Ax=b有解的条件：b是A的各列的线性组合。 9. 设A为mxn矩阵，以下命题等价： a) 对R m 中每个b，Ax=b有解 b) R m 中的每个b都是A的列的一个线性组合

线性代数学习笔记二 /*--> */ /*--> */ */ /*--> */ */ /*--> */ 线性代数学习笔记二 目录 1. 线性方程组 1.1. 行化简与阶梯型矩阵 1.1.1. 主元位置 1.1.2. 线性方程组的解 1.2. 向量方程 1.3. 矩阵方程 1.4. 线性方程组的解集 1 线性方程组 矩阵记号是为解方程组带来方便。 解方程组，消元法。 三种基本变换对应于增广矩阵的下列变换: 行初等变换 (倍加变换 replacement) 把某一行换成它本身与另一行的倍数的和 (对换变换 interchange) 把两行对换 (倍乘变换 scaling) 把某一行的所有元素乘以同一个非零数 行变换可应用于任何矩阵.如果一个矩阵可以经过一系列行初等变换变成另一个矩阵，则称这两个矩阵是行等价的。 行变换是可逆的。 线性方程组的两个基本问题： 方程组是否相容，即它是否至少有一个解？ 若它有解，是否只有一个解，即解是否唯一？ 1.1 行化简与阶梯型矩阵 非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列，非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。 一个矩阵称为阶梯型，则有以下三个性值: 1 每一非零行在每一零行之上 2 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右面 3 某一先导元素所在列下方元素都是零。若一个阶梯型矩阵还满足以下性质，则称它为简化阶梯形： 4

1、线性方程组概述 线性方程组： 包含未知数x1，x2，x3....xn的线性方程 　　其中b与系数a1，a2，a3...an是实数或复数，通常是已知的；下标n可以为任意数；线程方程组为由一个或几个包含相同变量x1，x2，x3....xn的线性方程组组成； 线性方程组的解分为相容、与不相容两种情况； 　　 相容： 1、唯一解；2、无穷解 　　 不相容： 无解 线性方程组矩阵表示 　　可以使用矩阵来表示线性方程组： 　　 系数矩阵： 只包含方程组系数的矩阵 　　 增广矩阵： 在系数矩阵的基础上加上线性方程组右边的常数组成的矩阵 2、解线性方程组 　　通过使用矩阵表示线性方程组，对矩阵使用行初等变换，把矩阵行化简为：行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵； 初等行变换： 　　1、倍加变换——把某行换成它本身与另一行的倍数和 　　2、对换变换——两行对换 　　3、倍乘变换——某一行的所有元素乘以同一个非零数 行阶梯形矩阵： 　　1、每一非零行在每一零行之上 　　2、某一行的最左边非零元素所在列在上面一行非零元素的右边 　　3、某一最左边非零元素所在列下方都是零 　　简化阶梯形为在行阶梯形矩阵的基础上进一步简化： 　　1、每一非零行最左边非零元素为1 　　2、每一最左边非零元素1是该元素所在列的唯一非零元素 同一个矩阵使用不同的方法化简，存在不同的行阶梯形，但简化阶梯形只存在一个；

1.矩阵基本知识 （1）正交矩阵相乘仍然是正交矩阵 A、B是正交矩阵,那么AA'=E BB'=E (AB)*(AB)'=AB*B'A'=A(BB')A'=AEA'=AA'=E （2）一个矩阵乘以正交矩阵，范数不变 ||Ux||^2=(Ux)^T(Ux)=x^TU^TUx=x^Tx=||x||^2 （3）一个矩阵乘以可逆矩阵秩不变 （4）初等变换只是不影响矩阵的秩，其他的特性都改变了。对于计算矩阵的行列式，不能进行初等变换，但是可以做行列的进 加减，不能乘以系数。 （5）矩阵的迹：矩阵的主对角线上各个元素的总和，是矩阵所有特征值的和 （6）对角矩阵的特征值是其对角线上的各个元素 （7）矩阵的秩等于非零奇异值的个数，等于非零特征值的个数 （8）任意矩阵都能进行奇异值分解，只有方阵才可以进行特征值分解 特征值分解： 如果一个向量 v 是方阵 A的特征向量，将可以表示成下面的形式： Av= λv，λ 称为特征向量 v 对应的特征值，并且一个矩 阵的 一组特征向量是一组正交向量。 特征值分解：Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值 奇异值分解： 假设A是一个N * M的矩阵，U是一个N * N的方阵（正交矩阵），Σ 是一个N * M的矩阵（对角线上的元素为奇异值），VT是 一个M * M的矩阵（正交矩阵） 特征值和奇异值的关系： （1）U