矩阵论

詹兴致矩阵论习题参考解答0序言 詹兴致矩阵论习题参考解答1预备知识 詹兴致矩阵论习题参考解答2张量积与复合矩阵 詹兴致矩阵论习题参考解答3Hermite 矩阵和优超关系 詹兴致矩阵论习题参考解答5矩阵扰动 詹兴致矩阵论习题参考解答6非负矩阵 詹兴致矩阵论习题参考解答7符号模式 来源： https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/12585582.html

从数学分析的课本讲起吧. 复旦自己的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起(指正式出版),那本书在香港等地翻印后反应据说非常好,似乎丘成桐先生做学生的时候也曾收益与此. 到90年代市面上还能看到的课本里面,有一套陈传璋先生等编的,可能就是上面的书的新版,交大的试点班有几年就拿该书做教材.另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的课本,好象后来数学系不用了,计算机系倒还在用.那本书里面据说积分的第二中值定理的陈述有点小错. 总的说来,这些书里面都可以看到一本书的影子,就是菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",其原因,按照秦老师的说法,是最初在搞教材建设的时候,北大选的"模本"是辛钦的"数学分析简明教程",而复旦则选了"数学分析原理". 后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析.我不否认那是一种尝试,但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流,但是从这个意义上说该书做得并不是非常好.而且从整体的 课程体系上说,在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得商榷. 下面开始讲一些课本,或者说参考书: 菲赫今哥尔茨 "微积分学教程","数学分析原理". 前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本; 后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本. 此书堪称经典. "微积分学教程"其实连作者

矩阵论 - Part II 文章目录 矩阵论 - Part II 概念索引 4 矩阵空间 概念索引 4 向量空间, 最大线性无关组, 线性(子)空间, 线性空间的维数, 基和坐标, 同构映射, 同构空间, 基变换, 过度矩阵, 坐标变换, 线性变换, 线性变换的矩阵表示, 相似矩阵 , 欧式空间, 內积, 范数, Schwartz不等式, 夹角, 规范正交基, Schmidt正交化过程, 正交矩阵 4 矩阵空间 向量空间 向量空间: n n n 维向量的集合 V V V , 如果对加法和数乘运算封闭, 则集合 V V V 称为 向量空间 生成向量空间 子空间 空间维数 0空间 最大线性无关组 : 向量组 A A A 中有 r r r 个向量(设为向量组 A 0 A_0 A 0 ​ )线性无关, 任意 r + 1 r+1 r + 1 个向量线性相关, 则称 A 0 A_0 A 0 ​ 是一个 最大线性无关组 , r r r 称为向量组的 秩 , 只含有0向量的向量组没有最大无关组, 规定其秩为 0 0 0 矩阵的秩等于其列向量组的秩, 也等于其行向量组的秩 向量组 B B B 可以由向量组 A A A 线性表示, 则向量组 B B B 的秩不大于向量组 A A A 的秩 等价的向量组秩相等 设 C = A B C = AB C = A B , 则 { R ( C ) ≤ R ( A

/*--> */ /*--> */ 根据矩阵中包含元素的内容及分布排列形式，可将矩阵如下分类： 图 1 按元素内容及排列形式的矩阵分类及各类矩阵之间的关系 一般矩阵 数域 F 上的 m * n 个数 a ij ， i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n, 排成 m 行 n 列的数表 ，称为 m * n 矩阵，简记为 A=[a ij ] m*n 零矩阵 所有元素都为 0 的矩阵。记为 0 n 阶方阵 行数与列数相等的矩阵。 对角矩阵 不在对角线上的元素皆为 0 的 n 阶方阵。记为 单位矩阵 主对角线上元素都为 1 ，其余元素为 0 的 n 阶方阵。记为 数量矩阵 主对角线上的元素等于同一个数 k 的对角矩阵。 上（下）三角矩阵 主对角线下（上）放元素皆为零的方阵。记为 ， 行向量 m=1 ，即 A 中只有一行的矩阵。记为 列向量 n=1 ，即 A 中只有一列的矩阵。记为 Matlab 实现 一般矩阵 ：直接输入元素用 空格或逗号 隔开，用“ ； ”表示一行的结束，并用 [] 将所有元素括起来。 较大的矩阵可以分成若干行输入，以回车键代替分号。 矩阵的元素可以是 Matlab 表达式。 用 分号 ”;” 附加 一行或一个矩阵。 用 冒号 ”:” 从大矩阵中 提取 小矩阵。 用 两重或多重省略号 ”……” 表示 续行 行向量和列向量为一般矩阵的特殊形式 零矩阵 :

1. 共轭复数 在 数学 中， 复数 的 共轭复数 （常简称 共轭 ）是对虚部变号的运算，因此一个复数 的复共轭是 将复数理解为 复平面 ，则复共轭无非是对实轴的 反射 。复数 的复共轭有时也表为 2. 矩阵A的复数共轭A*定义为[A*]ij = aij* 3. 矩阵的运算 矩阵的乘法不满足交换律。 4. 来源： https://www.cnblogs.com/dulun/p/12181690.html

矩阵论 矩阵论札记. 梁昌洪 . 2014学习概要 文章目录 矩阵论 第1部分 线性基础 第2部分 矩阵代数 第3部分 线性方程组 第4部分 矩阵空间 第5部分 本征问题与二次型 第6部分 矩阵变换 第7部分 矩阵应用 第1部分 线性基础 矩阵3大特点 : 矩阵是线性的 矩阵是离散的 矩阵是代数和几何交融的 行列式 n n n 阶 行列式 D D D 的值为 D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∑ t = 0 n ! ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a n p n D = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{matrix} \right | = \sum_{t=0}^{n!} (-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n} D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a 1 1 ​ a 2 1 ​ ⋮ a n 1 ​ ​ a 1 2 ​

行列式的性质及推论 1. 对角行列式的值为主对角线上元素的乘积 2. 辅对角行列式的值 3. 上三角和下三角行列式的值为主对角线上元素的乘积 4. 若行列式的某一行（列）的元素皆为零，则行列式的值为零 5. 交换行列式两行（列）元素的位置，行列式反号 6. 若行列式有两行（列）元素相同，则行列式的值为零 7. 将行列式转置，行列式的值不变，即 8. 若行列式有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为零 9. 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式 10. 设A，B为n阶方阵 11. 若行列式中某一行（列）元素 都可表示为两元素 与 之和，即 ，则该行列式可表示为两行列式之和。（可以推广到m个数之和的情况） 12. 把行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变 13. 奇数阶但对称行列式的值为零 14. 范德蒙德（Vandermonde）行列式 对于 方程个数与未知量个数相等 的线性方程组 Cramer 法则： 若方程组的系数行列式 ，则方程组有唯一解 如果线性方程组的系数行列式 ，则有唯一解； 如果线性方程组的系数行列式 ，则无解或多个解； 从目前来看行列式的意义，主要体现在Cramer法则中，用来确定（方程个数与未知量个数相等）线性方程组的解（唯一解、多个解或无解），并求取参数值。 但更为普适的方法

参考书：《矩阵论》第3版，程云鹏 张凯院 徐仲编著 西北工业大学出版社 1. 特征值的估计 1）特征值估计的意义：复数域上矩阵的特征值的计算一般比较困难；在大量应用中，往往不需精确计算特征值，只需估计出它们所在的范围；所以从矩阵的元素出发，若能用较简便的运算给出矩阵特征值的范围，将有着十分重要的意义 2）特征值的界 a）估计矩阵特征值的模的上界的方法 定理5.1：实矩阵的特征值虚部模值范围 定理5.1推论：实对称矩阵的特征值都是实数 引理1 定理5.2：复矩阵特征值的模、实部模、虚部模范围；证明据特征方程和引理1 定理5.2推论：Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数 b）估计矩阵特征值之乘积的模的界的方法 矩阵按行严格对角占优、按行（弱）对角占优的定义（定义5.1）：Rr(A) 矩阵按列严格对角占优、按列（弱）对角占优的定义（定义5.2）： 定理5.3：A为n*n的复矩阵，若A按行严格对角占优，...；s>r时，A的(s,j)元素值为零时，等号成立 定理5.4（Hadamard's inequality）：A为n*n复矩阵 估计矩阵按模最小特征值的上界 c）估计矩阵特征值模之平方和的上界的方法 定理5.5（Schur"s inequality）：n*n的复矩阵A的特征值为a1,...,an，则有A特征值模值平方之和 <= A元素模值平方直和

一. 特征值估计 特征值是矩阵很重要的性质,当阶数过高的时候, 计算特征值就很困难,所以需要估计. 范数的内容参见 矩阵分析(1) . 定理1: 设A的特征值为 λ1,λ2,.. λn. 则 |λi| ≤ ||A||, 其中矩阵范数为行范数和列范数. 且|λi|² ≤ ||A||, 其中矩阵范数为谱范数. 定义盖尔圆盘(Gerschgorin): 方阵A = (aij), 令δi = A中第i行元素绝对值之和 - |aii|. 也就是δi 为 第i行除了对角元之外元素的绝对值之和.则盖尔圆Gi 为以aii为圆心,以δi为半径的圆盘. A有n个盖尔圆. 定理2: A的n个盖尔圆 G1, G2, .. Gn, 有以下特性: 1) A的任一特征值 λ ∈∪(i=1, n)Gi. 2) 孤立的盖尔圆内有且只有一个特征值, 联通的盖尔圆内,几个盖尔圆联通就有几个特征值. 由盖尔圆的特性,可以总结出如下推论: 1. 若原点不在A的盖尔圆内,则A非奇异. 2. 若A对角占优, 即 |aii| > δi,(包括行对角占优和列对角占优), 则A非奇异. 3. 若A的n个盖尔圆两两不相交,则A有n个互异的特征值,从而A是单纯矩阵. 4. 若实方阵A有k个孤立的盖尔圆,则A至少有k个相异的实特征值. 事实上,A的n个盖尔圆的圆心都在实轴上,每个孤立的盖尔圆只有一个特征值,而实方阵若有复特征值

前言： 《矩阵论》更像进阶版的线性代数，是一门高级数学。 《线性代数》运算的对象是：常数。 《矩阵论》运算的对象是：矩阵。 这门学科使得数学更加贴近于生活。小白将研究生阶段学习的《矩阵论与数理统计——理论及其工程应用》中“矩阵论”部分的提纲列写在下面。既可以 梳理知识点 ，也为后面的 复习巩固 和 查阅使用 做些笔记。 一.矩阵运算与矩阵分解 1.矩阵及其基本运算 矩阵的初等变换. 矩阵的初等变换： 求逆矩阵； 解矩阵方程； 求矩阵的行最简型； 求矩阵和向量组的秩； 求向量组的极大线性无关组； 解线性方程组. 2.矩阵分解及其在解线性方程组中的应用 矩阵的三角分解; 矩阵的三角分解： LU分解； LDU分解； 楚列斯基分解( )； 推广楚列斯基分解( ); 矩阵的正交三角分解（QR） 矩阵的满秩分解(A=BC); 矩阵的奇异值分解. 3.矩阵的特征值与特征向量 特征值的估计（圆盘定理）. 4.矩阵的广义逆及其应用 广义逆矩阵（ ）； 应用减号逆解方程组通解； 广义逆矩阵（ ）； 应用加号逆求方程组的极小范数最小二乘解. 二.线性空间与线性变换 1.线性空间 集合与映射； 线性空间； 线性空间映射 满足下列运算律： ; ； V 中存在一个零元素，记作 0，对于 V 中每一个元素 ，都有 ; 对于 V 中每一个元素 ，在 V中存在一个元素 ，使得 ,这样的 叫做 的负元素,记作 = ;