欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数

$\varphi(n) or \phi(n)$
表示小于n的正整数与n互质的数的个数.
显然有:
当n为质数时 $\varphi(n)$
当n为奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(n)$
证明：
$\because$欧拉函数为积性函数.
$\therefore \varphi(2n) = \varphi(2) \ast \varphi(n)$
$\because \varphi(2)=1$
$\therefore \varphi(2n) = \varphi(n)$

欧拉函数通项公式

$\varphi (n)= n (1 - \frac {1} {p_1})(1 - \frac {1} {p_2})(1 - \frac {1} {p_3})...(1 - \frac {1} {p_k})$
证明：
若$n = p ^ k ,p$为质数,则$\varphi (p^k) = p ^k - p ^{k - 1}$
当一个数不包含质因子$p$时就能与$n$互质，
小于等于$n$的数中包含质因子$p$的只有$p^{k-1}$ 个，他们是:
$p, 2*p, 3* p, ...,p ^{k - 1} ∗p$，把他们去除即可.

由唯一分解定理可得: $n = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2}p_3 ^{a_3}...p_k ^{a_k}$
则 $\varphi (n) = \varphi(p_1^{a_1})\varphi(p_2^{a_2})\varphi(p_3^{a_3})...\varphi(p_k^{a_k})$

根据上述$\varphi (p^k) = p ^k - p ^{k - 1}$可得:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi (p) = p^k(1 - \frac{1}{p^k}$)

则 $\varphi (n) = \varphi(p_1^{a_1})\varphi(p_2^{a_2})\varphi(p_3^{a_3})...\varphi(p_k^{a_k})$可化为
$\ \ \ \ \varphi (n) = p_1 ^{a_1}(1 - \frac {1} {p_1}) p_2 ^{a_2}(1 - \frac {1} {p_2})p_3 ^{a_3}(1 - \frac {1} {p_3})...p_k ^{a_k}(1 - \frac {1} {p_k})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = n (1 - \frac {1} {p_1})(1 - \frac {1} {p_2})(1 - \frac {1} {p_3})...(1 - \frac {1} {p_k})$

欧拉函数的积性证明.

条件是m与n互质
可以得到$\phi(mn) = \phi(m) \ast \phi(n)$
证明：
$m = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$
$\phi (m) = m(1- \frac {1}{p_1})(1- \frac {1}{p_2})...(1- \frac {1}{p_k})$
$n = p_1'^{a_1'}p_2'^{a_2'}...p_k'^{a_k'}$
$\phi(n) = n(1- \frac {1}{p_1'})(1- \frac {1}{p_2'})...(1- \frac {1}{p_k'})$
$\because m与n互质$
$\therefore p_1,p_2...p_k与p_1'p_2'...p_k'$两两互不相同
$\therefore \phi(mn) = mn(1- \frac {1}{p_1})(1- \frac {1}{p_2})...(1- \frac {1}{p_k})(1- \frac {1}{p_1'})(1- \frac {1}{p_2'})...(1- \frac {1}{p_k'})$
$\therefore \phi(mn) = \phi(m) \ast \phi(n)$

欧拉定理:

当a 与 p互质的时候则有 $a^{\varphi(p)} \equiv 1 \ (mod \ p)$
设A= $\{x_1, x_2,x_3...x_{\phi(n)}\}$为1—n中与n互质的数的集合.
则他们模n两两不相同，且余数与n互质
下面我们来证明B=$\{ax_1, ax_2,ax_3...ax_{\phi(n)}\}$也有这个性质
mod n 两两互不相同 （反证法）：
假设$i != j$, $x_i, x_j \in B$那么就有$ax_i \equiv ax_j (mod \ n)$
那么就有$ax_I - ax_J \equiv 0 (mod \ n)$
因为$x_i - x_J$ 与n互质，所以不会有这样的解，得证。
余数都与$n$互质：因为$a$与$n$互质，$x_i$与$n$互质，
所以$ax_i$也与$n$互质，$ax_i$模$n$后也与$n$互质。
$\displaystyle \prod_{i = 1}^{\varphi(n)}ax_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)}x_i (mod \ n)$
$\displaystyle a^{\varphi(n)} \prod_{i = 1}^{\varphi(n)}x_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)}x_i (mod \ n)$
$\therefore a^{\varphi(n)} \equiv 0 (mod \ n)$
特别的，当n为质数的时候$\varphi(n) = n - 1$
那么式子就变成了$a^{n-1} \equiv 0 (mod \ n)$
这就是费马小定理，可以用来求逆元.

来源：CSDN

作者：迷失の梦

链接：https://blog.csdn.net/qq_45752133/article/details/103706511