如何通俗易懂地解释卷积

从数学上讲，卷积就是一种运算。

某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：

抽象的，符号化的
在生活中，科研中有着广泛的应用

比如加法：

$a+b$ ，是抽象的，本身只是一个数学符号
在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等

卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。

1. 卷积的定义

我们称 $(f*g)(n)$ 为f,g的卷积
其连续的定义为：
$(f*g)(n)=\int^{\infin}_{-\infin}f(\tau)g(n-\tau)d\tau$

其离散的定义为：
$(f*g)(n)=\sum^{\infin}_{\tau=-\infin}f(\tau)g(n-\tau)$

这两个式子有一个共同的特征：

这个特征有什么意义？

我们令 $x=\tau$ , $y=n-\tau$
那么 $x+y=n$ 就是下面这些直线

如果遍历这些直线，就好比把毛巾沿着角卷起来：

只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。

我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。

2 离散卷积的例子：丢骰子

这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。

我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：

那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：

因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为： $f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)$ 按照卷积的定义，把它写成标准的形式就是： $(f*g)(4)=\sum^{3}_{m=1}f(4-m)g(m)$

3.连续卷积的例子，做馒头

楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。

假设馒头的生产速度是 $f(t)$ ，那么一天后生产出来的馒头总量为： $\int^{24}_{0}f(t)dt$ 馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 $g(t)$ ，那么，10个馒头，24小时会腐败： $10\times g(t=24)$ 想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了： $\int^{24}_{0}f(t)g(24-t)dt$ 这就是连续的卷积。