卷积积分

1、卷积的数学意义 　　从数学上讲，卷积与加减乘除一样是一种运算，其运算的根本操作是将两个函数的其中一个先平移，然后再与另一个函数相称后的累加和。这个运算过程中，因为涉及到积分、级数的操作，所以看起来很复杂。在 卷积(转自wiki百科） 中已经讲过了卷积的定义如下所示： 对于定义在连续域的函数，卷积定义为 对于定义在离散域的函数，卷积定义为 　　这里令U(x,y) = f(x)g(y) ，考虑到函数 f 和 g 应该地位平等，即变量 x 和 y 应该地位平等，一种可取的办法就是沿直线 x+y = t将U(x,y)卷起来。下面为t取实际值的时候的坐标图，可以看到不同取值的t可以遍历整个平面。 　　将x+y=t中t取一次定值(这个定值可能是我们想要知道的某时刻的结果或着某种特征，由我们赋值),代入到U(x,y)中，就相当于U(x,y)所在平面沿着x+y=t直线做一次旋转如下列动图所示： 　　这里便是完成了整个卷积的降维过程，完成降维过程后，U(x,y)也就从一个二元函数 U(x,y) = f(x)g(y) 被卷成一元函数 V(x)=f(x)g(t-x),最后再对x求积分（即遍历降维后的轴上的特征点之和）。 2、卷积的C语言编写 　　编写卷积的程序，需要根据其离散方程组来进行了解。前面已经知道了卷积的离散函数的定义公式为： 　　 在用C语言等其他语言进行实现是可以采用定义

课程名称 | 零基础入门深度学习 授课讲师 | 孙高峰 百度深度学习技术平台部资深研发工程师 授课时间 | 每周二、周四晚20:00-21:00 编辑整理 | 孙高峰 内容来源 | 百度飞桨深度学习集训营 出品平台 | 百度飞桨 01 导读 本课程是百度官方开设的零基础入门深度学习课程，主要面向没有深度学习技术基础或者基础薄弱的同学，帮助大家在深度学习领域实现从0到1+的跨越。从本课程中，你将学习到： 深度学习基础知识 numpy实现神经网络构建和梯度下降算法 计算机视觉领域主要方向的原理、实践 自然语言处理领域主要方向的原理、实践 个性化推荐算法的原理、实践 本周为开讲第三周，百度深度学习技术平台部资深研发工程师孙高峰，开始讲解深度学习在计算机视觉方向实践应用。今天为大家带来的是卷积神经网络基础之初识卷积。 02 计算机视觉概述 计算机视觉作为一门让机器学会如何去“看”的科学学科，具体的说，就是让机器去识别摄像机拍摄的图片或视频中的物体，检测出物体所在的位置，并对目标物体进行跟踪，从而理解并描述出图片或视频里的场景和故事，以此来模拟人脑视觉系统。因此，计算机视觉也通常被叫做机器视觉，其目的是建立能够从图像或者视频中“感知”信息的人工系统。 计算机视觉技术经过几十年的发展，已经在交通（车牌识别、道路违章抓拍）、安防（人脸闸机、小区监控）、金融（刷脸支付、柜台的自动票据识别）、医疗

教科书上一般定义函数 ​的卷积如下： 连续形式： ​​离散形式：​ 并且也解释了，先对g函数进行翻转，相当于在数轴上把g函数从右边褶到左边去，也就是卷积的“卷”的由来。 然后再把g函数平移到n，在这个位置对两个函数的对应点相乘，然后相加，这个过程是卷积的“积”的过程。 这篇文章主要想解释两个问题： 卷积这个名词是怎么解释？“卷”是什么意思？“积”又是什么意思？ 卷积背后的意义是什么，该如何解释？ ## 考虑的应用场景 为了更好地理解这些问题，我们先给出两个典型的应用场景： 信号分析 一个输入信号f(t)，经过一个线性系统（其特征可以用单位冲击响应函数g(t)描述）以后，输出信号应该是什么？实际上通过卷积运算就可以得到输出信号。 图像处理 输入一幅图像f(x,y)，经过特定设计的卷积核g(x,y)进行卷积处理以后，输出图像将会得到模糊，边缘强化等各种效果。 对卷积的理解 对卷积这个名词的理解： 所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。 在连续情况下，叠加指的是对两个函数的乘积求积分，在离散情况下就是加权求和，为简单起见就统一称为叠加。 整体看来是这么个过程： 翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加…多次滑动得到的一系列叠加值，构成了卷积函数。 卷积的“卷”，指的的函数的翻转，从 g(t) 变成 g(-t) 的这个过程；同时，“卷

**今天，我们来正式讲计算机视觉里面一个非常非常广泛的网络，叫做 卷积神经网络 ，可以说卷积神经网络是现在计算机视觉的一个核心的概念，再讲卷积神经网络用于图片处理之前， 首先我们来看一下图片是怎么表示的？ 我们现在来看一个Minist的图片， 我们之前已经接触过了，他是一个28行乘以28列的一个这样的数据，我们用一个矩阵来表示这个矩阵的每一个元素，要么是零，要么是一。然后这个矩阵的每一个元素代表了当前这个像素点的一个数值，因为当前的minist他是一个黑白图片，因此我们只使用了一张这样的值来表达。每一张表的这个点表达了这个图片的灰度值，他是从0到255的这样一个数值，我们也可以把它变换到一个0到1的范围之内，就比如说，0代表是全白，1代表的是全黑，因此他就变成了一个0到1的，这样的浮点数数组，我们在做Deep Learning的时候，一般的是使用0到1的这个范围，但是数据存储的时候，他可能会存储到0-255，因此我们把它加载进来的时候会把它除以一个255，这样的分数会使得它的范围变到0到1的这个区间。 自然界更常见的是彩色的图片对于彩色的图片，我们如果忽略他的α通道的话，那就是一个rgb的数值，因此，我们使用三张表了存储，每一张表存储了这张图片的RGB三个通道的每个数值，每个数值也是0到255或者是0到1以后我们讲的图片都是归一化成0到1的这个区间来看， 在表达一张彩色图片的时候

昨天在公众号“原理”中“ ”一文介绍了一种数学规律突然消失的情况，即数学中的 虚幻模式。这种虚幻模式最初是由David Borwein、Jonathan Borwein父子两人在2001年发现的这种不寻常的模式。 ^Jonathan Borwein^ 这其中涉及到一个在信号处理领域中常被使用的一个函数：sinc函数，它的公式如下： 这个函数是正弦函数sin(t)除以t，是一个偶对称函数。如果函数自变量乘以一个常量因子，则会引起函数图形的尺度变化，即沿着自变量坐标轴的方向进行拉伸和压缩。下图显示了尺度动态变化的sinc函数。 虽然sinc函数是由简单的基本函数经过初等运算组成，但是它的原函数，即积分函数却不是一个初等函数。下图就是使用数值计算绘制出sinc函数的积分函数图形。从图像中可以看出，随着t趋向于正无穷，积分的值趋向于一个常量π，这说明sinc函数的面积等于π。 严格证明sinc函数的面积等于π，需要使用到 一些数学技巧，下面的连接给出了两种求取sinc函数面积的方法。 https://www.wikihow.com/Integrate-the-Sinc-Function 前面提到的“数学虚幻模式”就是研究sinc函数面积的问题。如果将sinc函数与它的拉伸三倍的函数相乘，仍然得到一个偶对称的函数，如下图所示： 那么这个相乘后的函数的面积是多少呢？ sinc函数的面积等于π

一、卷积的物理意义 卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。 在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。这正是单位响应是如此重要的原因。 二、卷积的另外解释 比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！ 如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你

作为一名苦逼工科生，《信号与系统》+《数字信号处理》是绕不过去的坎，各种让人头疼的概念与数学公式：傅里叶变化、拉普拉斯变化、Z变换、卷积、循环卷积、自相关、互相关、离散傅里叶变化、离散傅里叶时间变化…… 前一段时间在知乎发现一个有趣例子，生动形象地解释了卷积的物理意义，且解释的较为准确，下面，正文来了： 比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。 下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说，无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以进入核心内容——卷积了！ 如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了，你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了

先简单理解一下卷积这个东西。 （以下转自https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/54729807 知乎是个好东西） 1.知乎上排名最高的解释 首先选取知乎上对卷积物理意义解答排名最靠前的回答。 不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。 这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。 直接看图，不信看不懂。以离散信号为例，连续信号同理。 已知x[0] = a, x[1] = b, x[2]=c 已知y[0] = i, y[1] = j, y[2]=k 下面通过演示求x[n] * y[n]的过程，揭示卷积的物理意义。 第一步，x[n]乘以y[0]并平移到位置0： 第二步，x[n]乘以y[1]并平移到位置1 第三步，x[n]乘以y[2]并平移到位置2： 最后，把上面三个图叠加，就得到了x[n] * y[n]： 简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。 从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。 重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。 对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应 加权叠加，就直接得到了输出信号。 通俗的说：

做了四五天的专题，但是并没有刷下多少题。可能一开始就对多项式这块十分困扰，很多细节理解不深。 最简单的形式就是直接两个多项式相乘，也就是多项式卷积，式子是$N^2$的。多项式算法的过程就是把卷积做一种变换，在变换后各系数相称得到新系数。其实这一步变换的构造过程挺深奥的，并不是很会。对于多项式卷积的变换就是点值。于是就有了快速变换这样的算法。 细节问题出过很多。边界的问题容易弄错。一般如果是两个N项多项式相乘，得到的是一个$2*N-1$项的多项式，这是存在系数的，只不过一般我们只要N项的结果，所以做fft、ntt的时候总项数从$2*N$开始计算。其实这样解释比较牵强，但是原理的解释我并不清楚，稍感性理解。 多项式卷积应该化成类似i+j=k的形式，其实差值为k也是可以卷积的（翻转一个序列，这样得到的结果序列也是反的）。 fwt处理位运算形式的卷积，同样分治法。位运算是针对下标的，分治的时候考虑好左右两半的子答案的贡献。 多项式全家桶，基础是求导、积分。有时候一些式子不是直接两个相乘得到另一个，可能还要先求出逆元再变回去。这时候用到的就是关于多项式的各种运算。 具体的题目好多是和卷积、“各种数和各种反演”有关，把式子化成卷积形式进行优化。 没有时间写每个题解了，做题也很少，好多东西还没学。这块综合了不少东西，前置内容就有很多。 可能多项式要咕一大截了，难受。 来源： https:/

从数学上讲，卷积就是一种运算。 某种运算，能被定义出来，至少有以下特征： 抽象的，符号化的 在生活中，科研中有着广泛的应用 比如加法： a + b a+b a + b ，是抽象的，本身只是一个数学符号 在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等 卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。 1. 卷积的定义 我们称 ( f ∗ g ) ( n ) (f*g)(n) ( f ∗ g ) ( n ) 为f,g的卷积 其连续的定义为： ( f ∗ g ) ( n ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( n − τ ) d τ (f*g)(n)=\int^{\infin}_{-\infin}f(\tau)g(n-\tau)d\tau ( f ∗ g ) ( n ) = ∫ − ∞ ∞ ​ f ( τ ) g ( n − τ ) d τ 其离散的定义为： ( f ∗ g ) ( n ) = ∑ τ = − ∞ ∞ f ( τ ) g ( n − τ ) (f*g)(n)=\sum^{\infin}_{\tau=-\infin}f(\tau)g(n-\tau) ( f ∗ g ) ( n ) = τ = − ∞ ∑ ∞ ​ f ( τ ) g ( n − τ ) 这两个式子有一个共同的特征： 这个特征有什么意义？ 我们令 x =