模糊数学

分解定理
另$A$是$U$上的模糊集，则
$A=\bigcup_{\alpha\in[0,1]}\widetilde{A}_{\alpha}$
其中$\cup$代表标准模糊并集.
$\mu_A(x)=sup_{\alpha\in(0,1]}(\alpha\wedge\chi_{A_{\alpha}}(x))$
$\mu_A(x)=\vee \{\lambda,\lambda\in[0,1],x\in A_{\lambda}\}$

数据标准化

设论域$X=\{x_1,x_2,...,x_n\}$为被分类对象，每个对象又由$m$个指标表示其形状:
$x_i=\{x_{i1},x_{i2},...,x_{im}\},i=1,2,...,n$
于是得到原始数据矩阵为
$\begin{pmatrix} x_{11}&x_{12}&...&x_{1m}\\ x_{21}&x_{22}&...&x_{2m}\\ ...&...&...&...\\ x_{n1}&x_{n2}&...&x_{nm}\\ \end{pmatrix}$

平移标准差变换

$x_{ij}^{'}=\frac{x_{ij}-\overline{x}_j}{s_j}(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)$
其中
$\overline{x}_j=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{ij},s_j=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x}_j)^2}$

平移极差变换

$x_{ij}^{'}=\frac{x_{ij}-min\{x_{ij}|1\leq i \leq n\}}{max\{x_{ij}|1\leq i \leq n\}-min\{x_{ij}|1\leq i \leq n\}}$

相似关系描述

夹角余弦

$r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^{m}x_{ik}x_{jk}}{\sqrt{\sum_{k=1}^{m}x_{ik}^2} \sqrt{\sum_{k=1}^{m}x_{jk}^2}}$

相关系数

$r_{ij}=\frac{\sum_{k=1}^{n}|x_{ki}-\overline{x}_i||x_{kj}-\overline{x}_j|}{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{ki}-\overline{x}_i)^2}{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{kj}-\overline{x}_j)^2}}}$
$\overline{x}_j=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{kj}\\ \overline{x}_i=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{ki}$

距离法

$r_{ij}=1-c d(x_i,x_j)$
其中$c$为适当选择的参数。

常用距离

海明距离

$d(x_i,x_j)=\sum_{k=1}^{m}|x_{ik}-x_{jk}|$

欧氏距离

$d(x_i,x_j)=\sqrt{\sum_{k=1}^{m}(x_{ik}-x_{jk})^2}$

切比雪夫距离

$d(x_i,x_j)=\bigvee\{|x_{ik}-x_{jk}|,1\leq k\leq m\}$

闵可夫斯基距离(Minkowski)

设$X=\{x_1,x_2,...,x_n\}$$A,B\in F(x),p为正实数。$
$d_M(A,B)=(\sum_{i=1}^{n}|A(x_i)-B(x_j)|^p)^{\frac{1}{p}}$
当$X=[a,b]$时,
$d_M(A,B)=(\int_{a}^{b}|A(x)-B(x)|^p)^{\frac{1}{p}}$
特殊情况，当$p=1,为海明距离，p=2为欧几里得距离。$

距离缩放

有时为了方便，需要限制距离范围为$[0,1]$.有如下方法：
$d_M'(A,B)=(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|A(x_i)-B(x_j)|^p)^{\frac{1}{p}}$

$d_M'(A,B)=(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}|A(x)-B(x)|^p)^{\frac{1}{p}}$

加权距离

设$X=\{x_1,x_2,...,x_n\}$$A,B\in F(x),p为正实数。$同时满足$\sum_{i=1}^{n}w(x_i)=1$
$d_{Mw}(A,B)=(\sum_{i=1}^{n}w(x_i)|A(x_i)-B(x_j)|^p)^{\frac{1}{p}}$
当$X=[a,b],且满足\int_{a}^{b}w(x)dx=1时$,
$d_{Mw}(A,B)=(\int_{a}^{b}w(x)|A(x)-B(x)|^p)^{\frac{1}{p}}$

贴近度

定义：若映射$\sigma$:满足$F(x)$x$F(x)\to[0,1]$满足以下条件:$\forall A,B,C\in F(X),\\(1)\sigma(A,A)=1;\\(2)\sigma(A,B)=\sigma(B,A);\\(3)A\subseteq B\subseteq C\Rightarrow \sigma(A,C)\leq\sigma(A,B)\bigwedge\sigma(B,C).$
则称$\sigma$为$F(X)$上的贴近度函数，$\sigma(A,B)$为$A$与$B$的贴近度。

海明贴近度(Hamming)

$\sigma_H(A,B)=1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|A(x_i)-B(x_j)|\\\sigma_H(A,B)=1-\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}|A(x)-B(x)|dx$

Euclid贴近度

$\sigma_H(A,B)=1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|(A(x_i)-B(x_j))^2|^{\frac{1}{2}}\\\sigma_H(A,B)=1-\frac{1}{b-a}(\int_{a}^{b}|(A(x)-B(x))^2|dx)^{\frac{1}{2}}$

最大最小贴近度

$\sigma_{MM}(A,B)=\frac{\sum_{i=1}^n(A(x_i)\bigwedge B(x_i))}{\sum_{i=1}^n(A(x_i)\bigvee B(x_i))}$
$\sigma_{MM}(A,B)=\frac{\int_{a}^b(A(x)\bigwedge B(x))dx}{\int_{a}^b(A(x)\bigvee B(x))dx}$

格贴近度

设$A,B\in F(x)$,且$A,B$均为非空集，$SuppA\neq X,SuppB\neq X$,称如下定义的$\sigma:F(X)$x$F(X)\to[0,1]$为格贴近度：
$\sigma_L(A,B)=(A\bullet B)\wedge(1-A\otimes B)\\or=[(A\bullet B)+(1-A\otimes B)]/2\\whereA\bullet B=\vee_{x_i\in X}(A(x_i)\wedge B(x_i)),\\A\otimes B=\wedge_{x_i\in X}(A(x_i)\vee B(x_i))$

未完待续…

来源：https://blog.csdn.net/weixin_43221105/article/details/102755764