自动机

一：概念 首先简要介绍一下AC自动机：Aho-Corasick automation，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法之一。一个常见的例子就是给出n个单词，再给出一段文章（长度是m），让你找出有多少个单词在文章里出现过。要搞懂AC自动机，先得有字典树Trie的基础知识（也有人说需要KMP的知识，我觉得暂且不要理会这个。但是在看这篇文章之前，Trie字典树，你是必须要先搞懂，如果你还不理解Trie，请参考 http://blog.csdn.net/laojiu_/article/details/50838421 ）。 与其他字符匹配不同，KMP算法是单模式串的字符匹配算法，AC自动机是多模式串的字符匹配算法。匹配时间复杂度是O(N)，线性复杂度！ 二：算法过程（三步走） 举个例子，假如现在给出5个模式串：say she shr he her 主串是：yasherhs 现在问你，这5个模式串有几个出现在主串里的？ OK，现在就拿这个例子来完成这个算法的过程。 第一步： 构建Trie树，这很简单的了。构建好后，出现下图： 第二步： 构建失败指针 构建失败指针是AC自动机的核心所在，玩转了它也就玩转了AC自动机，失败指针就是，当我的主串在trie树中进行匹配的时候，如果当前节点不能再继续进行匹配，那么我们就会走到当前节点的fail节点继续进行匹配。

1. 给出模式串和文本串，文本串长度小于1e6，模式串长度之和小于1e6，求文本串中有多少模式串出现。 题目链接：https://www.luogu.org/problem/P3808 AC code： /* luoguP3808 （AC自动机模板题） 求文本串中有多少模式串出现 */ #include<cstdio> #include<queue> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cstdlib> using namespace std; const int maxn=1e6+5; struct Tree{ //Trie树 int fail,vis[30],key; //key用来记录有几个单词以这个节点结尾 }AC[maxn]; int n,cnt; char s[maxn]; //在Trie树中插入结点 void build(char *s){ int len=strlen(s),u=0; for(int i=0;i<len;++i){ int t=s[i]-'a'; if(!AC[u].vis[t]) AC[u].vis[t]=++cnt; u=AC[u].vis[t]; } AC[u].key+=1; } //构建fail指针 void get_fail(){ queue<int> que; for(int i

　在编译系统中，词法分析阶段是整个编译系统的基础。对于单词的识别，有限自动机FA是一种十分有效的工具。有限自动机由其映射f是否为单值而分为确定的有限自动机DFA和非确定的有限自动机NFA。在非确定的有限自动机NFA中，由于某些状态的转移需从若干个可能的后续状态中进行选择，故一个NFA对符号串的识别就必然是一个试探的过程。这种不确定性给识别过程带来的反复，无疑会影响到FA的工作效率。因此，对于一个非确定的有限自动机NFA M，经常的做法是构造一个确定的有限自动机DFA M’。 　有穷自动机（也称有限自动机）作为一种识别装置，能准确地识别正规集，即识别正规文法所定义的语言和正规式所表示的集合。引入有穷自动机理论，正是为词法分析程序的自动构造寻找特殊的方法和工具。 有穷自动机分为两类：确定的有穷自动机（Deterministic Finite Automata，DFA）和不确定的有穷自动机（Nondeterministic Finite Automata，NFA）。下面分别给出确定的有穷自动机和不确定的有穷自动机的定义、与其有关的概念、不确定的有穷自动机的确定化以及确定的有穷自动机的化简等算法。 　 NFA转换为等价的DFA： 在有穷自动机的理论里，有这样的定理：设L为一个由不确定的有穷自动机接受的集合，则存在一个接受L的确定的有穷自动机。这里不对定理进行证明，只介绍一种算法

最近刷了一下后缀自动机。 题其实做了也不少了，稍微有一点理解。（教练：得理解深刻） 1.我个人认为$parent$树其实是一颗虚树（最近又学了虚树，做了三道题），虚树的思想是只留存关键点以及关键点的$lca$。 $parent$树其实相当于后缀树的虚树，只留存了一些关键点。可以发现对于同一个$right$集合来说，在后缀树上有很多节点的$right$集合是完全相同的，这样在后缀树上这些节点其实是一段从上到下的连续的，度为1的节点。$SAM$把它们压在一起，用$MIN,MAX$的长度来代表这个节点所包含的集合（对于给定的$right$集合，只要再给出长度就可以确定子串），这样实现了对后缀树空间的优化。 2.$trans$转移边是相当于在结尾加入字符，$parent$树边其实是相当于在开头加入字符。 3.每个前缀节点都会丢失一个后缀信息（就是最长前缀，因为无法再从前面加字符了）。 4.$len$值代表的是一条从原点经过$trans$边到达某个节点的最长路径。 5.$parent$树上前缀节点与其父亲的$len$相减就是本质不同子串个数。 题列（全是板子题）： 1. 弦论 如果是本质不同的话，只需要强制每个节点的$right$集合大小为$1$即可，先$dp$一次求出路径数（从某个点开始的路径数等于从这个点代表的前缀所包含的子串个数），这样直接在$trans$上从小到大枚举转移即可。

这个算法在算法导论上写的很晦涩，而且还搞了一大堆定义和推导。其实背后的想法很naive。 既然要做字符串匹配，那就构造一个有限自动机出来：对于长度为n的pattern，如果当前字符串匹配上了一个字符，那么自动机的状态就是1；如果当前字符串匹配上了两个字符，那么自动机的状态就是2，……如果当前字符串把整个pattren都匹配了，那么自动机的状态就是n（也就是pattern的长度）。 现在问题来了，待匹配的字符串是千变万化的，怎么办？自动机的核心——状态转移函数——应该是什么样的？注意到，状态转移函数要对每个状态和每个可能的输入都有明确的定义，所以，只能对每个状态，都把整个字母表遍历一遍。 对于每个pattern，都有一个自动机；每个自动机也只和pattern有关（当然也和字母表有关，但是和待匹配的字符串无关）。 例如，pattern是“ababc”，待匹配的字符串是“abababc”那么，当字符串已经匹配了“abab”的时候（此时自动机的当前状态是4），下一个输入字符是“a”，那么，自动机的下一个状态应该是多少呢？稍微思考10秒钟，发现自动机的下一个状态应该是3。——这就是所谓的额后缀函数的本质。 然后按照这个思路想下去，得到的结论和算法导论上讲的那一堆晦涩难懂的东西，是一样的。 来源： https://www.cnblogs.com/adgjl/p/11795769.html

1.设有 NFA M=( {0,1,2,3}, {a,b},f,0,{3} )，其中 f(0,a)={0,1} f(0,b)={0} f(1,b)={2} f(2,b)={3} 画出状态转换矩阵,状态转换图，并说明该NFA识别的是什么样的语言。 解析： a b 0 {0,1} 0 1 2 2 3 3 状态转换图如下： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 识别语言为：(a | b)*abb 2.NFA 确定化为 DFA 1.解决多值映射：子集法 1）. 上述练习1的NFA 解析： 根据1的NFA构造DFA状态转换矩阵如下： a b A {0} {0,1} {0} B {0,1} {0,1} {0,2} C {0,2} {0,1} {0,3} D {0,3} {0,1} {0} 　　根据1的NFA构造DFA状态转换图如下： 　　 　　识别语言：b*aa*(ba)*bb， 与1的NFA的识别的语言相同，都是以abb结尾的字符串的集合。 2）. P64页练习3 状态转换矩阵如下： 0 1 A {S} {Q,V} {Q,U} B {Q,V} {V,Z} {Q,U} C {V,Z} {Z} {Z} D {Q,U} {V} {Q,U,Z} E {V} {Z} F {Q,U,Z} {V,Z} {Q,U,Z} G {Z} {Z} {Z} 状态转换图如下： 　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.设有 NFA M=( {0,1,2,3}, {a,b},f,0,{3} )，其中 f(0,a)={0,1} f(0,b)={0} f(1,b)={2} f(2,b)={3} 画出状态转换矩阵,状态转换图，并说明该NFA识别的是什么样的语言。 2.NFA 确定化为 DFA 1.解决多值映射：子集法 1）. 上述练习1的NFA 2）. P64页练习3 2.解决空弧：对初态和所有新状态求ε－闭包 1）. 发给大家的图2 2）.P50图3.6 子集法： f(q,a)={q1,q2,…,qn},状态集的子集 将{q1,q2,…,qn}看做一个状态A，去记录NFA读入输入符号之后可能达到的所有状态的集合。 步骤： 1）.根据NFA构造DFA状态转换矩阵 ①确定DFA的字母表，初态（NFA的所有初态集） ②从初态出发，经字母表到达的状态集看成一个新状态 ③将新状态添加到DFA状态集 ④重复23步骤，直到没有新的DFA状态 2）.画出DFA 3）.看NFA和DFA识别的符号串是否一致。 来源： https://www.cnblogs.com/SeBr7/p/11779579.html

1.设有 NFA M=( {0,1,2,3}, {a,b},f,0,{3} )，其中 f(0,a)={0,1} f(0,b)={0} f(1,b)={2} f(2,b)={3} 画出状态转换矩阵,状态转换图，并说明该NFA识别的是什么样的语言。 2.NFA 确定化为 DFA 1.解决多值映射：子集法 1）. 上述练习1的NFA 2）. P64页练习3 2.解决空弧：对初态和所有新状态求ε－闭包 1）. 发给大家的图2 2）.P50图3.6 子集法： f(q,a)={q1,q2,…,qn},状态集的子集 将{q1,q2,…,qn}看做一个状态A，去记录NFA读入输入符号之后可能达到的所有状态的集合。 步骤： 1）.根据NFA构造DFA状态转换矩阵 ①确定DFA的字母表，初态（NFA的所有初态集） ②从初态出发，经字母表到达的状态集看成一个新状态 ③将新状态添加到DFA状态集 ④重复23步骤，直到没有新的DFA状态 2）.画出DFA 3）.看NFA和DFA识别的符号串是否一致。 来源： https://www.cnblogs.com/hzxx/p/11779294.html

1.设有 NFA M=( {0,1,2,3}, {a,b},f,0,{3} )，其中 f(0,a)={0,1} f(0,b)={0} f(1,b)={2} f(2,b)={3} 画出状态转换矩阵,状态转换图，并说明该NFA识别的是什么样的语言。 状态转换矩阵： a b 0 0,1 0 1 2 2 3 3 状态转换图： 识别的语言：(a|b)*abb 2.NFA 确定化为 DFA 1.解决多值映射：子集法 1）. 上述练习1的NFA 状态转换矩阵： a b 0 0 {0,1} {0} 1 {0,1} {0,1} {0,2} 2 {0,2} {0,1} {0,3} 3 {0,3} {0,1} {0} 状态转换图： 2）. P64页练习3 状态转换矩阵： 0 1 1 {S} {V,Q} {Q,U} 2 {V,Q} {V,Z} {Q,U} 3 {V,Z} {Z} {Z} 4 {Q,U} {V} {Q,U,Z} 5 {Q,U,Z} {Q,U} {Q,U,Z} 6 {V} {Z} 7 {Z} {Z} {Z} 状态转换图： 2.解决空弧：对初态和所有新状态求ε－闭包 1）. 发给大家的图2 2）.P50图3.6 子集法： f(q,a)={q1,q2,…,qn},状态集的子集 将{q1,q2,…,qn}看做一个状态A，去记录NFA读入输入符号之后可能达到的所有状态的集合。 步骤： 1）

1.设有 NFA M=( {0,1,2,3}, {a,b},f,0,{3} )，其中 f(0,a)={0,1} f(0,b)={0} f(1,b)={2} f(2,b)={3} 画出状态转换矩阵,状态转换图，并说明该NFA识别的是什么样的语言。 答：（1）状态转换矩阵 （2）状态转换图 （3）该NFA识别的语言是b*aa*bb 2.NFA 确定化为 DFA 　　1.解决多值映射：子集法 　　　　1）. 上述练习1的NFA 　　　　 答：构造DFA状态转换矩阵 　　　　 　　　　画出DFA： 　　　　 　　　　2）. P64页练习3 　　　　 答：构造DFA状态转换矩阵 　 　　　　画出DFA 　　　　 　　2.解决空弧：对初态和所有新状态求ε－闭包 　　　　1）. 发给大家的图2 　　　　答：构造DFA状态转换矩阵 　　　　　画出DFA 　　　　 　　　　2）.P50图3.6 　　　 　答：状态转换矩阵： 　　　　　　状态转换图： 子集法： f(q,a)={q1,q2,…,qn},状态集的子集 将{q1,q2,…,qn}看做一个状态A，去记录NFA读入输入符号之后可能达到的所有状态的集合。 步骤： 1）.根据NFA构造DFA状态转换矩阵 ①确定DFA的字母表，初态（NFA的所有初态集） ②从初态出发，经字母表到达的状态集看成一个新状态 ③将新状态添加到DFA状态集 ④重复23步骤