平衡树

1.平衡二叉树：或者是一棵空的二叉排序树，或者是具有下列性质的二叉排序树： ⑴ 根结点的左子树和右子树的深度最多相差1; ⑵ 根结点的左子树和右子树也都是平衡二叉树。 2.平衡因子：结点的平衡因子是该结点的左子树的深度与右子树的深度之差。 3.结点的平衡因子＝HL-HR 4.在平衡树中，结点的平衡因子可以是1，0，-1。 5.最小不平衡子树：在平衡二叉树的构造过程中，以距离插入结点最近的、且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树。 基本思想： 在构造二叉排序树的过程中，每插入一个结点时，首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。 设结点A为最小不平衡子树的根结点，对该子树进行平衡调整归纳起来有以下四种情况： LL型 RR型 LR型 RL型 LL B = A - > lchild； A - > lchild = B - > rchild； B - > rchild = A； A - > bf = 0 ； B - > bf = 0 ； if ( FA == NULL ) root = B ; else if ( A == FA - > lchild ) FA - > lchild = B ; else FA - > rchild = B； RR B =

数据结构 树（下） 一、概述 　　 AVL树、伸展树、红黑树搜索树算法保证最坏情况或者一系列操作情况下，搜索、插入和删除的操作的时间复杂度是 O(logn) 。本文 主要内容包含：平衡搜索树中的AVL树、伸展树、（2,4）树、红黑树 和（a，b）树、B树等实际运用的树数据结构。 二叉搜索树的删除 二、AVL树 1、基本知识 1、AVL树是维持对数 O(logn) 的高度的特殊二叉搜索树。“高度”指根节点到叶子节点最长路径上的节点的数量。“None”的孩子的高度是0，叶子节点的高度是1，父节点是叶子节点的高度加1 2、AVL树具有 高度平衡属性：对于树T的每个位置P，P的孩子的高度最多相差 1。AVL树子树也是一颗AVL树！ 3、一个高度为h（h≥3）的拥有最少节点的AVL树，必须有两颗子树：一颗高度 h-1，另一颗高度为 h-2：n(h)=1+n(h-1)+n(h-2) h≥3 (n(1)=1、n(2)=2) 4、AVL树的高度h和节点总数n的关系： h < 2log n +2 5、AVL树平衡因子是指位置p的两颗子树高度差 （左树减右树/右树减左树） ，平衡因子 的绝对值 不大于1。 2、更新操作 1、插入，AVL树在叶子节点产生一个新的节点插入新节点p，导致p的祖先节点不满足高度平衡属性，通过trinode重组，两次“旋转”重建树T，使其满足AVL树的高度平衡属性 2、删除

简介 　　 定义 ：在计算机科学中， AVL树 是 最先发明 的 自平衡二叉查找树 。在AVL树中任何节点的 两个子树的高度最大差别为1 ，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。 　　 性质 ： 1. 本身首先是一棵二叉搜索树。 　　　　　 2. 带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（ 平衡因子 ）最多为1。 　　 平衡因子 ：树中任意节点的 左子树高度 和 右子树高度 之差 　　 平衡因子 = | 左子树高度 - 右子树高度 | 　　 AVL树 中的任意一个结点, 其 平衡因子 的绝对值 小于2 ， AVL树 是一种 特殊 的二叉搜索树 (BST树)。 　　在一些情况下,会打破 AVL树 的 自平衡性 ，或者在 添加删除 时 打破了平衡性 。所以 AVL树 定义了 旋转操作 , 在 平衡因子 大于等于2时 , AVL树 会旋转来 调整树的结构 , 来重新 满足 平衡因子 小于2。 　　失去平衡后进行进行的规律可归纳为下列 四种 情况： 　　（一） 单向右旋转处理 LL ：由于在A的 左子树根结点的左子树上插入结点 ，A的平衡因子由1增至2，致使以 A为根的子树失去平衡 ，则需进行 一次右旋转 操作； 　　（二） 单向左旋平衡处理 RR ：由于在A的 右子树根结点的右子树上插入结点 ，A的平衡因子由-1变为-2，致使

索引这个词，相信大多数人已经相当熟悉了，很多人都知道MySQL的索引主要以B+树为主，但是要问到为什么用B+树，恐怕很少有人能把前因后果讲述的很完整。本文就来从头到尾介绍下数据库的索引。 索引是一种数据结构，用于帮助我们在大量数据中快速定位到我们想要查找的数据。 索引最形象的比喻就是图书的目录了。注意这里的大量，数据量大了索引才显得有意义，如果我想要在[1,2,3,4]中找到4这个数据，直接对全数据检索也很快，没有必要费力气建索引再去查找。索引在mysql数据库中分三类： B+树索引、Hash索引、全文索引 我们今天要介绍的是工作开发中最常接触到innodb存储引擎中的的B+树索引。 要介绍B+树索引，就不得不提二叉查找树，平衡二叉树和B树这三种数据结构。B+树就是从他们仨演化来的。 二叉查找树 首先，让我们先看一张图  从图中可以看到，我们为user表（用户信息表）建立了一个二叉查找树的索引。图中的圆为二叉查找树的节点，节点中存储了键(key)和数据(data)。 键对应user表中的id，数据对应user表中的行数据。二叉查找树的特点就是 任何节点的左子节点的键值都小于当前节点的键值，右子节点的键值都大于当前节点的键值。 顶端的节点我们称为根节点，没有子节点的节点我们称之为叶节点。 如果我们需要查找id=12的用户信息，利用我们创建的二叉查找树索引，查找流程如下： 1.

说起无限分类..大多数的结构都是 id name parent_id 这种模式.整个结构比较简单清晰.要构建和更新整个分类也比较容易.但是查询起来就会非常的麻烦.经常会用到递归的算法.例如 获取某个节点的所有父节点之类. 今天说一说通过多叉树的方式构建无限分类,结构上可能会复杂一点,构建和更新也比较麻烦.但是查询非常方便.两种方法的优劣就不评论了. 先看一张图 这是我们要构建的无限分类的模型. 电子产品是最大的分类.家用电器 ,数码产品是其子分类.可以看到子分类是被父分类包含起来的.每个分类都有左右 两个节点编号分别是1、2、3..... 根据上面的图mysql中建立表和插入数据 CREATE TABLE `product_categories` ( `id` MEDIUMINT( 8 ) NOT NULL AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY , `name` VARCHAR( 20 ) NOT NULL , `left_node` MEDIUMINT( 8 ) NOT NULL , `right_node` MEDIUMINT( 8 ) NOT NULL ) ENGINE = MYISAM CHARACTER SET utf8 COLLATE utf8_general_ci; INSERT INTO `product_categories` (`id`,

阅读目录 1. 二叉树 2. 二叉查找树 3. 平衡二叉树 3.1 平衡查找树之AVL树 3.2 平衡二叉树之红黑树 4. B树 5. B+树 6. B*树 7. Trie树 　　数据结构中有很多树的结构，其中包括二叉树、二叉搜索树、2-3树、红黑树等等。本文中对数据结构中常见的几种树的概念和用途进行了汇总，不求严格精准，但求简单易懂。 回到顶部 1. 二叉树 　　二叉树是数据结构中一种重要的数据结构，也是树表家族最为基础的结构。 二叉树的定义： 二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2 i-1 个结点；深度为k的二叉树至多有2 k-1 个结点；对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n 0 ，度为2的结点数为n 2 ，则n 0 =n 2 +1。 二叉树的示例 ： 满二叉树和完全二叉树： 　　满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点。也可以这样理解，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值，所有叶子结点必须在同一层上。 　　满二叉树的性质： 　　1) 一颗树深度为h，最大层数为k，深度与最大层数相同，k=h; 　　2) 叶子数为2 h ; 　　3) 第k层的结点数是：2 k-1 ; 　　4) 总结点数是：2 k-1 ，且总节点数一定是奇数。 　　完全二叉树

　　　　平衡二叉树（Balanced Binary Tree）具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。 最小二叉平衡树的节点的公式如下 F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1 这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。 　　特殊的二叉树，又称为排序二叉树、二叉搜索树、二叉排序树。 　 　二叉查找树实际上是数据域有序的二叉树， 即对树上的每个结点，都满足其左子树上所有结点的数据域均小于或等于根结点的数据域， 右子树上所有结点的数据域均大于根结点的数据域。如下图所示： 其中左节点要比当前子树根节点小，右节点要比当前子树根节点大，如第一次进入二叉树， 根节点为temp为5，再进来3和根节点比较，发现根节点的左节点为空，所以3放在5的左节点，进来7，比5大，5的右节点为空，7到5的右节点，再进来2，找到5，比5小，进去继续找，发现5的左节点不为空，temp为3作当前小平衡树的根，发现3的左为空，此时将2放到3的左节点.... 代码实现： #include<stdio.h> #include<stdlib.h> typedef struct node{ int

//.......................avl.h #pragma once #include < iostream > #include < stack > using namespace std; //................................动态平衡树-----AVL树 template < class Type > class AVL; //结点类 template < class Type > class AVLNode { friend class AVL < Type > ; public : AVLNode(): data ( Type ()),leftChild( NULL ),rightChild( NULL ),bf( 0 ) {} AVLNode( Type d,AVLNode < Type > * left = NULL ,AVLNode < Type >* right = NULL ) : data (d),leftChild(left),rightChild(right),bf( 0 ) {} ~AVLNode() {} private : Type data ; AVLNode * leftChild; AVLNode * rightChild; int bf; }; //AVL类 template < class

30张图带你彻底理解红黑树 红黑树怎么自平衡？什么时候需要左旋或右旋？插入和删除破坏了树的平衡后怎么处理？ 红黑树定义和性质 红黑树是一种 含有红黑结点并能自平衡的二叉查找树 。它必须满足下面性质： 性质1：每个节点要么是黑色，要么是红色。 性质2： 根节点 是 黑色 。 性质3：每个 叶子节点 （NIL）是 黑色 。 性质4：每个 红色结点的两个子结点 一定都是 黑色 。 性质5： 任意一结点到每个叶子结点 的路径都 包含数量相同的黑结点 。 性质5.1：如果 一个结点存在黑子结点 ，那么 该结点肯定有两个子结点 (在Java中， 叶子结点 是 为null 的结点。) 图1就是一颗简单的红黑树。其中Nil为叶子结点，并且它是黑色的。(值得提醒注意的是，在Java中，叶子结点是为null的结点。) 红黑树并 不是 一个 完美平衡(左右子树高度相差为0)二叉查找树 ，从图1可以看到，根结点P的左子树显然比右子树高，但左子树和右子树的 黑结点的层数是相等的 ，也即 任意一个结点到到每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点 (性质5)。所以我们叫红黑树这种平衡为 黑色完美平衡 。 我们把 正在处理(遍历)的结点 叫做 当前结点 ，如图2中的D，它的父亲叫做父结点，它的父亲的另外一个子结点叫做兄弟结点，父亲的父亲叫做祖父结点。 红黑树自平衡 红黑树能自平衡，它靠的是什么？三种操作： 左旋

AVL树概念 前面学习 二叉查找树 和 二叉树的各种遍历 ，但是其 查找效率不稳定 (斜树)，而二叉平衡树的用途更多。查找相比稳定很多。( 欢迎关注 数据结构专栏 ) AVL树是 带有平衡条件的二叉查找树 。这个平衡条件必须要 容易保持 。而且要保证它的深度是O(logN). AVL的条件是左右树的高度差（ 平衡因子 ）不大于1；并且它的每个子树也都是平衡二叉树。 对于平衡二叉树的最小个数， n0=0 ; n1=1 ; nk=n(k-1)+n(k-2)+1 ;(求法可以类比斐波那契！) 难点：AVL是一颗二叉排序树，用什么样的规则或者规律让它能够在 复杂度不太高 的情况下 实现动态平衡 呢？ 不平衡概况 如果简单的以单节点看，大致有上面 四种 情形，并且他们的最后结果也是有的有所相近。只是：上下会变动。 该在左面的还在左面，改在右面的还在右面 。 这只是针对在底部，对于可能出现的平衡要首先搞清楚： 所以针对四种不平衡， 可能出现在底部，也可能出现在头，也可能出现在某个中间节点导致不平衡。 而我们只需要研究其首次不平衡点， 解决之后整棵树即继续平衡 。当然，在实际解决肯定会带上 递归 的思想解决问题。 # 四种平衡旋转方式 RR平衡旋转(左单旋转) 出现这种情况的原因是节点的 右侧的右侧较深 这时候 不平衡节 点需要 左旋 。再细看过程。 再左旋的过程中， root(oldroot)