离散傅里叶变换

变换分类 根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别： 1非周期性连续信号傅立叶变换（Fourier Transform） 2周期性连续信号傅立叶级数(Fourier Series) 3非周期性离散信号离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform） 4周期性离散信号离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。 把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。 对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，在计算机面前我们只能用DFT方法 傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

傅里叶变换将信号分解为正弦波，离散傅里叶变换DFT基于数字信号。real DFT是将输入输出信号都用实数表示，一般用复数DFT，但实数DFT是基础。 傅里叶变换族 傅里叶变换是傅里叶在研究热传导时发现的，他提出用正弦波代表温度分布并向法兰西学会提交论文。但当时的法兰西学会权威拉格朗日对此理论并不赞成，拉格朗日认为傅里叶的方法不能代表非连续信号。实际上拉格朗日某些条件下是对的，因为正弦波之和确实无法表示非连续信号，但却可以无限接近，即两者能量无限接近。这种现象叫做吉布斯效应。当信号为离散信号时傅里叶分解完全成立，拉格朗日所拒绝的是连续信号。 一个16点长度信号被分解为正弦信号和余弦信号，如下图所示： 如上图所示傅里叶分解将此信号分解为9个正弦信号和9个余弦信号。每个都有不同的幅度和频率。至于为何选用正弦波而不是三角波或者方波进行分解，这主要正弦信号特有的特性：正弦信号保真度。正弦信号输入到一个系统中其输出仍为正弦信号，其频率和波形保持不变，只有其幅度和相位发生改变。正弦曲线是唯一有此特性的波。 傅里叶变换可以根据4种不同信号分为4类，信号可以是离散或者连续的，也可能是周期的或者非周期的。因此可以分为以下4类： 非周期连续 这种信号傅里叶变换简单的叫做傅里叶变换FT 周期连续 这种信号傅里叶变换叫做傅里叶级数FS 非周期离散 这种信号傅里叶变换叫做离散时间傅里叶变换DTFT 周期离散

目录 一、研究的意义 二、DFT的定义 三、DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 四、DFT的周期性 五、matlab实验 五.1 程序 五.2 实验结果 一、研究的意义 DTFT计算公式，中的w取值是连续的而且从负无穷大到正无穷大，对于计算机处理是不可能的，需要无限细分无限区间。即使在DTFT小节中用matlab实现计算，也只是将(-pi,pi)区间划分成1600份来逼近DTFT的效果。 实际上真正用的是DFT，离散傅里叶变换。离散傅里叶变换可以将连续的频谱转化成离散的频谱去计算，这样就易于计算机编程实现傅里叶变换的计算。FFT算法的出现，使得DFT的计算速度更快。 二、DFT的定义 由上边的定义可知，w=(2*pi/N)*k ,k=0,1,......,N-1，所以w的范围为[0，(N-1/N)*2*pi]。因为是离散取值，实际的区间长度为N，但不含第N个点，w的范围就是[0，2*pi)。 也就是说DFT变换的频谱范围是在竖轴的右侧（>0），而且取了FT变换的一个周期(0,2*pi)。 三、DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 四、DFT的周期性 以下的四个式子，在程序设计和理解程序中经常用到，wd、wa分别为数字角频率和其对应的模拟角频率。 （1） ，描述了模拟角频率、数字角频率以及DFT变换的k之间的对应关系 （2） ，描述了数字角频率与模拟角频率之间的关系 （3）

吐槽时光： 今天在学习OFDM的离散傅里叶变换时，突然一时想不起来DFT以及IDFT的公式，很是苦恼，甚至是万分痛苦，这究竟是为什么？ 从本科就开始搞这些玩意，那时候看到连续的还算亲切，但到了离散的时候就觉得是天书一般，我甚至一度怀疑自己是不是智力真的不够用，为什么我学不会这玩意？ 到了研究生阶段，一度为了查漏补缺，我也曾废寝忘食地总结过这方面的知识，查了好几个版本的书，做了一些笔记，但那时候都是用纸张记录，过了一段时间，学习其他东西不曾翻看，又经历搬实验室的一系列原因，笔记都没有了。（我承认我不喜欢去翻看那落上灰尘的纸张，往往当成废纸扔了。） 时间又过了许久，听报告时，又再度听到OFDM的字眼，真是出现的频率有点高，我曾还算认真的看过OFDM，所以听到这个名词时，会有些敏感，但又想不起来具体的过程了，恰好，我开通博客已经许久，这种记录方式，总不会让我说扔就扔吧，中途用到了IDFT，使用IDFT的这个过程，真的让我很难理解，然而在通信这个系列的博客中，我是决心搞懂的，还下了誓言，不然是小狗，哈哈，通信系列博客目录在此： Ŀ¼ ，在 用离散傅里叶变换实现OFDM 这个博文中，整理的不算很到位，我正在修改，争取通俗易懂，至少做到准确。 在 用离散傅里叶变换实现OFDM 这篇博文的润色上花了不少时间，这中间的一个歧途就是我强迫自己去理解DFT，IDFT的一些列知识，事实上

离散傅里叶变换(DFT)： 快速傅里叶变换(FFT)是一种运用蝶形算子计算DFT的方法。 下面是matlab实现代码： close all; clear; fs=200; N=256; % 采样 freq 和数据点数 n=0:N-1; t=n/fs; % 时间序列 % x=0.5*sin(2*pi*15*t); %+2*sin(2*pi*40*t); % 实信号 x=4*exp(j*2*pi*15*t)% +2*exp(-j*2*pi*40*t) + 2 + 4*i; %+ 4000+4000*i; % 复数 信号 y1=fft(x,N); % 对信号进行快速 Fourier 变换 y2=fftshift(y1); x_ifft1 = ifft(y1); x_ifft2 = ifft(y2); mag1=abs(y1); % 求得 Fourier 变换后的 amplitude mag2=abs(y2); f1=n*fs/N; %freq 序列 f2=n*fs/N-fs/2; subplot(4,1,1),plot(t,abs(x),'b'); % 绘出随 freq 变化的 amplitude xlabel('time/s'); ylabel('amplitude');title('Figure1: time domain signal','color','b');grid on;