离散傅里叶变换(DFT)(为了使用而学习的DFT)

匿名 (未验证) 提交于 2018-06-25 13:41:21

吐槽时光:

今天在学习OFDM的离散傅里叶变换时,突然一时想不起来DFT以及IDFT的公式,很是苦恼,甚至是万分痛苦,这究竟是为什么?

从本科就开始搞这些玩意,那时候看到连续的还算亲切,但到了离散的时候就觉得是天书一般,我甚至一度怀疑自己是不是智力真的不够用,为什么我学不会这玩意?

到了研究生阶段,一度为了查漏补缺,我也曾废寝忘食地总结过这方面的知识,查了好几个版本的书,做了一些笔记,但那时候都是用纸张记录,过了一段时间,学习其他东西不曾翻看,又经历搬实验室的一系列原因,笔记都没有了。(我承认我不喜欢去翻看那落上灰尘的纸张,往往当成废纸扔了。)

时间又过了许久,听报告时,又再度听到OFDM的字眼,真是出现的频率有点高,我曾还算认真的看过OFDM,所以听到这个名词时,会有些敏感,但又想不起来具体的过程了,恰好,我开通博客已经许久,这种记录方式,总不会让我说扔就扔吧,中途用到了IDFT,使用IDFT的这个过程,真的让我很难理解,然而在通信这个系列的博客中,我是决心搞懂的,还下了誓言,不然是小狗,哈哈,通信系列博客目录在此:目录,在用离散傅里叶变换实现OFDM这个博文中,整理的不算很到位,我正在修改,争取通俗易懂,至少做到准确。

用离散傅里叶变换实现OFDM这篇博文的润色上花了不少时间,这中间的一个歧途就是我强迫自己去理解DFT,IDFT的一些列知识,事实上,找到公式拿来用就可以了,可是我不舒服呀,浑身难受,我怎么就不能完全征服了这个东西呢?这都搞不懂,那小波变换呢?压缩感知呢?如何深入研究?

最后,我看了多种博文,看了奥本海姆的离散信号处理,差点让我冲动到烧书,我没时间去研究前因后果了,我想知道DFT如何导出的,可这导出过程又牵扯到离散周期序列的傅里叶级数,这不要紧,我懂,可又出来了个离散周期序列的傅里叶变换,还有,还有。。。我受不了了,我不看了还不行吗?我只用用还不行吗?于是才有了这篇为了使用而写的离散傅里叶变换,不去深入讨论其性质,严格推导其由来,这个工作我会做,但不是现在。快期末考试了,我紧张的要死。


1. 离散周期信号的傅里叶级数及其系数(DFS)

1)针对的对象:周期离散序列,设周期为N;

2)像连续周期信号那样用傅里叶级数表示信号,也即周期序列x[n]的傅里叶级数(DFS)表示:

其中:

从上面的公式中可以看到,积分限从0到N-1,而非像连续周期信号的傅里叶级数那样,从,这是为什么呢?也就是说,为什么不像连续周期信号的傅里叶级数一样,需要无穷多个成谐波关系的复指数合成?

这是因为:


对于n来说,是以N为周期的,所以只需要一个周期就可以了。

(连续周期信号的傅里叶变换要不要贴出来呢?)

3)下面在给出傅里叶系数的表达式:


(要不要推导一个这个式子怎么来的呢?)

注意:上面的DFS以及IDFS,自变量的取值范围都是从负无穷到正无穷。

之所以要先讲离散傅里叶级数,是因为它和离散傅里叶变换有看上去不小的联系呢,至少可以直观的、感官上地对比。

2. 离散傅里叶变换(DFT)

正变换公式(DFT):


逆变换公式(IDFT):


(我一定要找到离散傅里叶变换的矩阵表示,我就不自己写出来,打出来太麻烦了。)

对比DFS与DFT可以很明显的看到,二者之间的关系为:

除了取值范围不同,其他基本一致,实际应用中,要处理的信号大多数为有限长的非周期信号,因此DFT更常用。

DFT只不过是特殊的DFS,就是对DFS的时域和频域只取主值部分。

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这部分参考:写的不错的博文

离散傅立叶级数(DFS)中的无限长序列都是以N为周期的周期序列,所以在计算离散时间周期序列及其频谱时,可以利用DFS的周期性,只需要在时域和频域各取一个主值序列,用计算机各计算一个周期中的N个样值,最后将所得的主值序列x(n)和X(k)进行周期延拓,即可得到原来的无限长序列

由DFT的导入过程可以发现,DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题,而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。事实上,对于有限长离散序列,总可以把时域和频域的变换区间(序列长度)均取为N(包括适当数量的补0点),通常把N称之为等间隔采样点数,我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列,直接利用DFT的定义计算其N点变换。