函数最值

前言 相关概念 例12 (数学常识) 在某个区间内，对可导函数 \(f(x)\) 而言， \(f'(x)>0(f'(x)<0)\) 是函数 \(f(x)\) 在这个区间单调递增(减)的充分不必要条件。 说明不必要性，比如函数 \(y=x^3\) 在R上单调递增，但是却满足 \(f'(x)\ge 0\) ； 在某个区间内，对可导函数 \(f(x)\) 而言， \(f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)\) 是函数 \(f(x)\) 在这个区间单调递增(减)的必要不充分条件。 比如常函数 \(f(x)=c(c为常数)\) ，满足 \(f'(x)\ge0\) ，但是没有单调性，故充分性不成立； 若函数 \(f(x)\) 单调递增，则必有 \(f'(x)\ge 0\) ，故必要性成立。 在某个区间内，对可导函数 \(f(x)\) 而言，“ \(f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)\) 且在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零”是函数 \(f(x)\) 在这个区间单调递增(减)的充要条件。 说明：在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零，就排除了函数为常函数的可能。 例如，命题 \(p\) 为真命题， \(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\) 在区间 \((0，+\infty)\) 上单调递减，求 \(m\) 的取值范围是________。 分析：由题目可知，

导数求函数最值 本文作者@guodongLovesOi 没有将导数用法规范，如果被数学老师打作者概不负责 首先对于二次函数 \(f(x)=x^2+3x+1\) 我们可以很方便的求出导数： \[ 设 \triangle=\lim_{\triangle->0} ,x'=x-\triangle\\ 那么f'(x)=\frac{f(x)-f(x')}{x-x'} \\ 即 \\ \frac{x^2+3x+1-{x'}^2-3x'-1}{x-x'}= \\ \frac{(x+x')(x-x')+3(x-x')}{x-x'}=\\ 即 \quad{2x+3} \] 设定点为坐标为 \((v,f(v))\) ,由图可知，在 \(f'(v)=0\) \(\therefore v=-\frac{3}{2}\) 将 \(v\) 代入: \[ (-\frac{3}{2},{(-\frac{3}{2})}^2-3\times \frac{3}{2}+1)\\ (-\frac{3}{2},-\frac{5}{4}) \] 通过可爱的顶点式可以验算上面是对的。 那么扩展到二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) \[ 设\triangle=\lim_{\triangle->0},x'=x-\triangle\\ 所以f(x)的导数f'(x)可以这样计算:\\ \frac{ax^2+bx+c-a{x'}