导数求函数最值

~~本文作者@guodongLovesOi 没有将导数用法规范，如果被数学老师打作者概不负责~~

首先对于二次函数 \(f(x)=x^2+3x+1\)

我们可以很方便的求出导数：
\[ 设 \triangle=\lim_{\triangle->0} ,x'=x-\triangle\\ 那么f'(x)=\frac{f(x)-f(x')}{x-x'} \\ 即 \\ \frac{x^2+3x+1-{x'}^2-3x'-1}{x-x'}= \\ \frac{(x+x')(x-x')+3(x-x')}{x-x'}=\\ 即 \quad{2x+3} \]
设定点为坐标为\((v,f(v))\),由图可知，在\(f'(v)=0\)

\(\therefore v=-\frac{3}{2}\)

将\(v\) 代入:

\[ (-\frac{3}{2},{(-\frac{3}{2})}^2-3\times \frac{3}{2}+1)\\ (-\frac{3}{2},-\frac{5}{4}) \]
通过可爱的顶点式可以验算上面是对的。

那么扩展到二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)
\[ 设\triangle=\lim_{\triangle->0},x'=x-\triangle\\ 所以f(x)的导数f'(x)可以这样计算:\\ \frac{ax^2+bx+c-a{x'}^2-bx'-c}{x-x'}=\\ \frac{a(x^2-(x')^2)+b(x-x')}{x-x'}=\\ \frac{a(x+x')(x-x')+b(x-x')}{x-x'}=\\ a(x+x')+b= \\ 即\quad 2ax+b \]
代入上面的可爱的二次函数可以简单的验算这是正确的.
\[ 2av+b=0 \\ v=-\frac{b}{2a} \\ v(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a})) \]
~~草，跟课本结论一样，装不了X了~~.