前言
相关概念
- 在某个区间内，对可导函数\(f(x)\)而言，\(f'(x)>0(f'(x)<0)\)是函数\(f(x)\)在这个区间单调递增(减)的充分不必要条件。
说明不必要性，比如函数\(y=x^3\)在R上单调递增，但是却满足\(f'(x)\ge 0\)；
- 在某个区间内，对可导函数\(f(x)\)而言，\(f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)\)是函数\(f(x)\)在这个区间单调递增(减)的必要不充分条件。
比如常函数\(f(x)=c(c为常数)\)，满足\(f'(x)\ge0\)，但是没有单调性，故充分性不成立；
若函数\(f(x)\)单调递增，则必有\(f'(x)\ge 0\)，故必要性成立。
- 在某个区间内，对可导函数\(f(x)\)而言，“\(f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)\)且在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零”是函数\(f(x)\)在这个区间单调递增(减)的充要条件。
说明：在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零，就排除了函数为常函数的可能。
例如，命题\(p\)为真命题，\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，求\(m\)的取值范围是________。
分析：由题目可知，
若\(p\)为真，则\(1-2m>0\)，解得\(m<\cfrac{1}{2}\)(依托\(y=\cfrac{1}{x}\)的单调性)；
辨析：本题目利用函数\(f(x)\)的单调性求参数的取值范围时，既可以利用单调性的性质，也可以利用导数法，但是导数法很容易出错。
导数法：由\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，则有
\(f'(x)=-(1-2m)\cfrac{1}{x^2}\leq 0\)在区间\((0，+\infty)\)上恒成立，
即\(2m-1\leq 0\)，即\(m\leq \cfrac{1}{2}\)，这个结果是错误的，
原因是缺少验证，当\(m=\cfrac{1}{2}\)时， 函数\(f(x)=0\)为常函数，
不符合题意，故舍去，即\(m<\cfrac{1}{2}\)。
- 在某个区间内，对函数\(f(x)\)而言，\(f'(x_0)=0\)是\(x_0\)为极值点的既不充分也不必要条件。
分析：比如函数\(f(x)=x^3\)，在R上单调递增，无极值点，而\(f'(x)=3x^2\)，\(f'(0)=0\)，
但是很遗憾\(x=0\)不是极值点，应该是驻点和拐点，故充分性不成立；
若\(x_0\)为函数的极值点，也不能推出\(f'(x_0)=0\)，因为函数的极值点有可能就不可导，
比如函数\(f(x)=|x|\)，\(x=0\)是其极值点，但是函数在这一点(尖角点)并不可导。
- 在某个区间内，对可导函数\(f(x)\)而言，\(f'(x_0)=0\)是\(x_0\)为极值点的必要不充分条件。
说明：此时由于函数是可导函数，就排除了函数在\(x_0\)处不可导的情形，
故\(x_0\)为函数的极值点，能推出\(f'(x_0)=0\)，必要性成立。