\(\mathcal{Description}\)
定义一种字符串\(gray\)串满足：
- 长度为奇数
- 正中间的字母只出现一次
- 左右两端相同，左右两端也是gray串
一个\(gray\)串的贡献为这个串长度的平方
需要注意的是一个长度为\(7\)的\(gray\)串是包含了长度为\(1,3\)的\(gray\)的
现给你一个长为\(n(n<=100,000)\)的字符串，你可以修改至多一个字母，使得总贡献值最大
输入方式为一个字符串
\(\mathcal{Solution}\)
考虑怎么去求修改字符的贡献
我们修改一个字符时应该考虑两点:
一是该字符原本造成的贡献没有了
二是将其修改后会得到新的贡献
当我们对第\(i\)个字符修改时
用\(cost[i]\)表示\(i\)位置原本的贡献
用\(bef[i][x](benefit)\)表示将\(i\)位置的字符修改为\(x\)所得到的贡献,特别的,设i位置本来的字符为\(x\),那么\(cost[i]=bef[i][x]\)
那么将\(i\)位置的字符修改为\(x\)得到的贡献应为\(bef[i][x]-cost[i]\)根据\(gray\)串的定义,我们知道一个\(gray\)串的长度应该是\(1,3,7,15,31\dots(2^x-1)\)
所以我们最多有\(log_2(n)\)种长度不同的\(gray\)串,\(n\)最大为\(100,000\)也就是说最多有\(16\)种
所以我们可以考虑求出所有长度的情况求\(cost\)
\(cost[i]\)表示的是\(i\)位置的字符原本的贡献,其包含了不同长度的贡献
一个长度为\(n\)的\(gray\)串所有位置的贡献应该都是\(n*n\)
考虑差分,找出所有不同长度的\(gray\)串,在其开头贡献加上\(n*n\),在其末尾加一的位置减去\(n*n\)如何判断原串中一个串是否为\(gray\)串(过水可跳过)
先将原串哈希一遍
用\(pef[i][j]\)表示以\(i\)为开头,长度为\(2^j-1\)的串是否为\(gray\)串 \((\)我喜欢叫它完美串\(pef \Rightarrow perfect)\)
用\(sum[i][j]\)表示字符\(i\)在前\(j\)个字符中出现了多少次
设一个长度为\(2^i-1\)的串左端点为\(l\),中点为\(mid\),右端点为\(r\),中点字符为\(ch\),字符串的哈希值为\(sub\)
则应满足以下条件
\(sum[ch][r]-sum[ch][l-1]==1\)
\(pef[l][i-1]=true\)
\(pef[mid+1][i-1]=true\)
\(sub(l,mid-1)==sub(mid+1,r)\)求\(bef\)
枚举所有长度以及其起点
考虑将其变为\(gray\)串
此时对于一个串有两种情况
一是左半边与右半边都是\(gray\)串,但是中间的字符有重复,枚举将中间的字符修改为什么字符即可
二是左半边与右半边有一个为\(gray\)串,此时两串不相同的字符应只有一个并且中间的字符应不会重复
这一段的打法并没有特殊技巧,注意处理方法即可,细节看代码,思路很清晰
\(\mathcal{Code}\)
代码里有折叠,使用vim的朋友可以将其分开看
建议打代码时也分开打
/******************************* Author:Morning_Glory LANG:C++ Created Time:2019年07月19日 星期五 20时41分51秒 *******************************/ #include <iostream> #include <fstream> #include <cstring> #define ll long long #define ull unsigned long long using namespace std; const int maxn = 100050; const int limit = 16; const int h = 31; int n; int len[maxn]; ll ans,inc; ll cost[maxn]; ll bef[maxn][30]; ull ha[maxn],mi[maxn]; int sum[30][maxn]; char s[maxn]; bool pef[maxn][limit+5]; //{{{sub inline ull sub (int l,int r) { return ha[r]-ha[l-1]*mi[r-l+1]; } //}}} //{{{check inline bool check (int l1,int r1,int l2,int r2) { return sub(l1,r1)==sub(l2,r2); } //}}} //{{{lcp inline int lcp (int l1,int l2) { int res=0; for (int i=limit;i>=0;--i){ int le=res+len[i]; if (l1+le<=n&&l2+le<=n&&check(l1,l1+le,l2,l2+le)) res+=len[i]+1; } return res; } //}}} //{{{init inline void init () { for (int i=1;i<=limit+1;++i) len[i]=len[i-1]<<1|1; mi[0]=1,ans=n=strlen(s+1); for (int i=1;i<=n;++i){ for (int j=1;j<=26;++j) sum[j][i]=sum[j][i-1]+(s[i]-'a'+1==j); pef[i][1]=true,mi[i]=mi[i-1]*h; ha[i]=ha[i-1]*h+s[i]-'a'+1; } } //}}} //{{{get_pef inline void get_pef() { for (int i=2;len[i]<=n;++i) for (int l=1,r=len[i];r<=n;++l,++r){ int mid=l+len[i-1],ch=s[mid]-'a'+1; if (sum[ch][r]-sum[ch][l-1]==1) pef[l][i]=pef[l][i-1]&pef[mid+1][i-1]&check(l,mid-1,mid+1,r); ans+=1ll*pef[l][i]*len[i]*len[i]; } } //}}} //{{{get_cost inline void get_cost () { for (int i=1;len[i]<=n;++i) for (int l=1,r=len[i];r<=n;++l,++r){ cost[l]+=1ll*pef[l][i]*len[i]*len[i]; cost[r+1]-=1ll*pef[l][i]*len[i]*len[i]; } for (int i=1;i<=n;++i) cost[i]+=cost[i-1]; } //}}} //{{{calc inline void calc (int l1,int k)// from l1 len[k] { if (k==1){ for (int i=1;i<=26;++i) ++bef[l1][i]; return; } int mid=l1+len[k-1],l2=mid+1; ll tmp=1ll*len[k]*len[k]; if (pef[l1][k-1]&&pef[l2][k-1]&&check(l1,mid-1,l2,l2+len[k-1]-1)){ for (int i=1;i<=26;++i) if (sum[i][l1-1]==sum[i][mid-1]) bef[mid][i]+=tmp; return; } int prf1=lcp(l1,l2); int m1=l1+prf1,m2=l2+prf1; int prf2=lcp(m1+1,m2+1); if (m1+1+prf2<mid) return; if (pef[l1][k-1]&&sum[s[mid]-'a'+1][l1-1]==sum[s[mid]-'a'+1][mid-1]) bef[m2][s[m1]-'a'+1]+=tmp; if (pef[l2][k-1]&&sum[s[mid]-'a'+1][mid]==sum[s[mid]-'a'+1][l2+len[k-1]-1]) bef[m1][s[m2]-'a'+1]+=tmp; } //}}} int main() { freopen("356E.in","r",stdin); freopen("356E.out","w",stdout); ios::sync_with_stdio(false); cin>>(s+1); init(); get_pef(); get_cost(); for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=1;i+len[j]-1<=n;++j) calc(i,j); for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=1;j<=26;++j) inc=max(inc,bef[i][j]-cost[i]); cout<<ans+inc<<endl; return 0; } 如有哪里讲得不是很明白或是有错误，欢迎指正
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