最短路径

文章来源：( http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html ) （以下内容皆为转载） Dijkstra算法 1.定义概览 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。 问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径） 2.算法描述 1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度

搜索 ： BFS：广度优先 每一层遍历的节点都与根节点距离相同 。设 di 表示第 i 个节点与根节点的距离，推导出一个结论：对于先遍历的节点 i 与后遍历的节点 j，有 di <= dj。利用这个结论， 可以求解最短路径等 最优解 问题 ：第一次遍历到目的节点，其所经过的路径为最短路径。应该注意的是， 使用 BFS 只能求解无权图的最短路径。 在程序实现 BFS 时需要考虑以下问题： 队列：用来存储每一轮遍历得到的节点； 标记：对于遍历过的节点，应该将它标记，防止重复遍历。 1） 每一层遍历的节点都与根节点距离相同：决定了什么时候path++：就是每遍历一层之前保留queue.size，这个size就是这一层的大小 2） 什么时候置flag？已经从队列中poll了之后 3） 最优解问题：因为每次遍历的都是和根节点距离相同的节点，所以最先到达终点的一定是最短路径 1091. 二进制矩阵中的最短路径(m)（经典BFS+visited） 重点 ：注意只有{0}一个数的情况 public int shortestPathBinaryMatrix(int[][] grid) { if(grid[0][0]==1 || grid[grid.length-1][grid[0].length-1]==1) return -1; if (grid.length == 1 && grid[0][0]

最短路径问题的抽象 在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径 这条路径就是两点之间的最短路径 第一个顶点为源点 最后一个顶点为终点 问题分类 单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径 （有向）无权图 （有向）有权图 多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径 无权图的单源最短路算法 按照递增（非递减）的顺序找到到各个顶点的最短路（BFS） void Unweighted ( Vertex S ) { Enqueue ( S , Q ) ; while ( ! IsEmpty ( Q ) ) { V = Dequeue ( Q ) ; for ( V 的每个邻接点 W ) if ( dist [ W ] == - 1 ) { dist [ W ] = dist [ V ] + 1 ; path [ W ] = V ; Enqueue ( W , Q ) ; } } } T = O(|V|+|E|) 有权图的单源最短路算法 不考虑负值圈 按照递增（非递减）的顺序找到到各个顶点的最短路 Dijkstra算法 令S = {源点s + 已经确定了最短路径的顶点v} 对任一未收录的顶点v，定义dist[v]为s到v的最短路径长度，但该路径仅经过S中的顶点。及路径{s->(vi∈S)->v}的最小长度 若路径是按照递增的顺序生成的，则

好久没写算法，今天碰到个问题求最短路径竟然都写不出来了。 1. 迪克斯特拉（Dijkstra）算法 在网上面看了很多的解释，仍没有感觉到有非常通熟易懂的解释，在这里我为大家讲解一下，尽量避免枯燥难懂的数学公式。 狄克斯特拉算法。是从一个特定的顶点（又可称为原点，可自己定义）到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。举个例子，通熟易懂 . 圆圈表示一个顶点，每两个圆圈之间的线段上面的数字表示权值，这个权值可以表示从一个点到另外一个点所需要的时间，距离等等花销，在本例，表示距离。。每个圆圈里面写着原点到这个点的距离。 我们先设置两个顶点的集合T和S： 1）S中存放已找到最短路径的顶点，初始时，集合S中只有一个顶点，即、原点V0，我们在V0圆圈内写0，本身到本身的距离时0 2）T中存放当前还没找到最短路径的顶点，我们将除了V0以外的所有点的距离写无穷大，在这里我们都写99。 找到S中的第一个点s(1)，即原点，从原点开始，寻找与s(1)相连的最近一层的权值最小的点 找到S中的第二个点s(2)，即在与原点相连的权值2，6,，9找到最小权值2，将其所对应的点的圆圈里面写2，表示原点到这个点的最短距离为2 找到S中第三个点s(3)的最短路径，写上3，，表示原点到这个点的最短距离为3，记住

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。 法1）： 本题典型的回溯算法，但是没有剪枝，在42/43个case的时候超时了，以下是代码。 PS：尝试过如果当前和大于全局最小，则停止，但是由于有负数的存在，现在大的值也可以通过-9999成为最小值，剪枝失败。 class Solution: def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int: if not triangle or not triangle[0]: return 0 depth = len(triangle)-1 self.minSum = 9999 def helper(curSum,curdepth,j): if curdepth == depth: if curSum<self.minSum: self.minSum = curSum return helper(curSum+triangle[curdepth + 1][j],curdepth+1,j) helper(curSum+triangle[curdepth + 1][j+1],curdepth+1,j+1) helper(triangle[0][0],0,0) return self.minSum 法2）动态规划 用动态规划之前，必须想清楚，空间换时间

简介 Dijkstra算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(BFS思想)，直到扩展到终点为止 Dijkstra不能处理带负权和带有回路的图 算法思想 设起点为u，引入两个集合S、U，S集合包含已求出的最短路径的点，U集合记录未求出最短路径的点以及到起点的距离 初始化两个集合，S集合初始时只有起点，U集合初始时为起点到其他节点的距离(详细来说是起点到本身的距离为0，起点未直接连接点的距离为INF) 从U集合中找出路径最短的点k，加入S集合并从U集合中删去该点 遍历所有节点，如果某节点v使得u到k再到v的距离小于当前u到v的距离，则更新U中相应的距离 循环上述3、4步骤，直至遍历结束，得到起点到其他节点的最短路径 简单分析上述思路，我们可以得到下列伪代码(紫书p359) 清除标记数组中所有点的标记 设d [ s ] = 0 , 其他d [ i ] = INF , s是起点 循环n次 { 在所有未标记节点中选出d值最小的节点k 给节点k标记 对于从k出发的所有边 ( k , i ) , 更新d [ i ] = min { d [ i ] , d [ k ] + w ( k , i ) } } 其中"更新d[i]=min{d[i],d[k]+w(k,i)}"称为边(k,i)的 松弛操作 代码实现 邻接矩阵 时间复杂度O(V

原文链接 一、通俗地讲解 viterbi 算法 这篇回答你绝对看得懂！如下图，假如你从S和E之间找一条最短的路径，除了遍历完所有路径，还有什么更好的方法？ 答案：viterbi (维特比)算法。 过程非常简单： 为了找出S到E之间的最短路径，我们先从S开始从左到右一列一列地来看。 首先起点是S，从S到A列的路径有三种可能：S-A1、S-A2、S-A3，如下图： 我们不能武断的说S-A1、S-A2、S-A3中的哪一段必定是全局最短路径中的一部分，目前为止任何一段都有可能是全局最短路径的备选项。 我们继续往右看，到了B列。B列的B1、B2、B3逐个分析。 先看B1： 如上图，经过B1的所有路径只有3条：S-A1-B1S-A2-B1S-A3-B1以上这三条路径，我们肯定可以知道其中哪一条是最短的（把各路径每段距离加起来比较一下就知道哪条最短了）。假设S-A3-B1是最短的，那么我们就知道了经过B1的所有路径当中S-A3-B1是最短的，其它两条路径路径S-A1-B1和S-A2-B1都比S-A3-B1长，绝对不是目标答案，可以大胆地删掉了。删掉了不可能是答案的路径，就是viterbi算法（维特比算法）的重点，因为后面我们再也不用考虑这些被删掉的路径了。现在经过B1的所有路径只剩一条路径了，如下图： 接下来，我们继续看B2： 如上图，经过B2的路径有3条：S-A1-B2S-A2-B2S-A3

1.题目 哈利·波特要考试了，他需要你的帮助。这门课学的是用魔咒将一种动物变成另一种动物的本事。例如将猫变成老鼠的魔咒是haha，将老鼠变成鱼的魔咒是hehe等等。反方向变化的魔咒就是简单地将原来的魔咒倒过来念，例如ahah可以将老鼠变成猫。另外，如果想把猫变成鱼，可以通过念一个直接魔咒lalala，也可以将猫变老鼠、老鼠变鱼的魔咒连起来念：hahahehe。 现在哈利·波特的手里有一本教材，里面列出了所有的变形魔咒和能变的动物。老师允许他自己带一只动物去考场，要考察他把这只动物变成任意一只指定动物的本事。于是他来问你：带什么动物去可以让最难变的那种动物（即该动物变为哈利·波特自己带去的动物所需要的魔咒最长）需要的魔咒最短？例如：如果只有猫、鼠、鱼，则显然哈利·波特应该带鼠去，因为鼠变成另外两种动物都只需要念4个字符；而如果带猫去，则至少需要念6个字符才能把猫变成鱼；同理，带鱼去也不是最好的选择。 输入格式: 输入说明：输入第1行给出两个正整数N (≤100)和M，其中N是考试涉及的动物总数，M是用于直接变形的魔咒条数。为简单起见，我们将动物按1~N编号。随后M行，每行给出了3个正整数，分别是两种动物的编号、以及它们之间变形需要的魔咒的长度(≤100)，数字之间用空格分隔。 输出格式: 输出哈利·波特应该带去考场的动物的编号、以及最长的变形魔咒的长度，中间以空格分隔

最短路径问题 最短路径问题的抽象 在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径。 这条路径就是两点之间的最短路径 第一个顶点为源点 第二个顶点为终点 问题分类 单源最短路径问题:从某个固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径： 1. 无权图 2.有权图 多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径 无权单源最短路径算法 --BFS 按照递增的顺序找出到各个顶点的最短路，从而算出到终点的最短路。也可以想象为权值为1的有权单源最短路问题，解决这类问题最好的办法就是上次讲的BFS 宽度优先搜索算法 去解决。 这里以这个图为例，求从v1到v7的最短路径。 # include <iostream> # include <stdlib.h> # include <stack> # include <queue> # include <string.h> using namespace std ; int mat [ 100 ] [ 100 ] ; int v , e ; int start ; int stop ; void draw ( ) { cin >> v >> e ; cin >> start >> stop ; for ( int i = 0 ; i < e ; i ++ ) { int v1 , w1 ; cin >> v1 >> w1 ; mat [

　　最近在看论文的时候看到论文中使用isomap算法把3D的人脸project到一个2D的image上。提到降维，我的第一反应就是PCA,然而PCA是典型的线性降维，无法较好的对非线性结构降维。ISOMAP是‘流形学习’中的一个经典算法，流形学习贡献了很多降维算法，其中一些与很多机器学习算法也有结合，先粗糙的介绍一下’流形学习‘。 　　 流形学习 　　流形学习应该算是个大课题了，它的基本思想就是在高维空间中发现低维结构。比如这个图： 　　 　　这些点都处于一个三维空间里，但我们人一看就知道它像一块卷起来的布，图中圈出来的两个点更合理的距离是A中蓝色实线标注的距离，而不是两个点之间的欧式距离（A中蓝色虚线）。 　　此时如果你要用PCA降维的话，它根本无法发现这样卷曲的结构（因为PCA是典型的线性降维，而图示的结构显然是非线性的），最后的降维结果就会一团乱麻，没法很好的反映点之间的关系。而流形学习在这样的场景就会有很好的效果。 　　 经典MDS（Multidimensional Scaling） 　　如上文所述，MDS接收的输入是一个距离矩阵DD,我们把一些点画在坐标系里： 　　 　　如果只告诉一个人这些点之间的距离（假设是欧氏距离），他会丢失那些信息呢？ 　　a.我们对点做平移，点之间的距离是不变的。 　　b.我们对点做旋转、翻转，点之间的距离是不变的。