一. 连续时间信号分析
1. 基本连续信号
抽样信号$Sa(t)=\frac{sin(t)}{t}=sinc(\frac{t}{\pi}), sinc(t)=Sa(\pi t)$
$\int_{0}^\infty Sa(t)dt = \frac{\pi}{2}$
单位阶跃信号 $u(t)$
单位冲激信号 $\delta(t)$
$\delta(t)=\frac{du(t)}{dt}$
抽样特性$\int_{-\infty}^\infty x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)$
加权特性$x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t)$
尺度变换$\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$
二次冲激函数(冲激偶函数)$\int_{-\infty}^\infty x(t)\delta'(t-t_0)dt=-x'(t_0)$
$x(t)\delta'(t-t_0)=x(t_0)\delta'(t-t_0)-x'(t_0)\delta(t-t_0)$
2. 卷积
定义:$y(t)=x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^\infty x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau$
微积分性质$y^{(i+j)}(t)=x_1^{(i)}(t)x_2^{(j)}(t)$
单位冲激函数为卷积的幺元$x(t)*\delta(t)=x(t)$
$x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$
单位阶跃信号相当于积分器$x(t)* u(t)=\int_{-\infty}^t x(\tau)d\tau$
冲激偶函数相当于微分器$x(t)*\delta'(t)=x'(t)$
3. 傅里叶级数
$x(t)$为周期信号
三角型傅里叶级数: $x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty [a_n{cos}(n\Omega_0t)+b_n{sin}(n\Omega_0t)]$
$a_n=\frac{2}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t){cos}(n\Omega_0t)dt,n=0,1,2,...$
$b_n=\frac{2}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t){sin}(n\Omega_0t)dt,n=1,2,...$
指数型傅里叶级数:$x(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}X(n\Omega_0)e^{jn\Omega_0t}$
周期信号离散频谱函数$X(n\Omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-jn\Omega_0t}dt$
高为$A$底宽$\tau$的矩形脉冲信号频谱函数$X(n\Omega_0)=\frac{A\tau}{T_0}Sa(n\Omega_0\tau/2)$
高为$A$底宽为$2\tau$的周期三角波频谱函数$X(n\Omega_0)=\frac{A\tau}{T_0}Sa^2(\frac{1}{2}n\Omega_0\tau)$
时移性质 $x(t-t_0)\leftrightarrow e^{-jn\Omega_0t_0}X(n\Omega_0)$
尺度变换性质$x(at)\leftrightarrow X(na\Omega_0)$
微积分性质$x^k(t) \leftrightarrow (jn\Omega_0)^kX(n\Omega_0)$
4. 傅里叶变换
$x(t)$为非周期信号
频谱密度函数$X(j\Omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j\Omega t}dt$
非周期信号的频域分解$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega$
非周期信号$x(t)$存在傅里叶变换的条件: 无限区间内绝对可积. 任意有限区间内只有有限个不连续点,这些点均为有限值. 任意有限区间内只有有限个最小值和最大值.
对偶性: 若$x(t)\leftrightarrow X(j\Omega)$, 则$X(jt)\leftrightarrow 2\pi x(-\Omega)$
时移性: $x(t-t_0)\leftrightarrow X(j\Omega)e^{-j\Omega t_0}$
一般求法是先求出$F(j\Omega)=F[\frac{dx(t)}{dt}]$, 然后有$X(j\Omega)=\pi F(0)\delta(\Omega)+\frac{1}{j\Omega}F(j\Omega)$