正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵

1.正定矩阵

一个n×n的实对称矩阵M是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有z^TMz > 0。其中z^T表示z的转置。

2.负定矩阵

与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵

是负定矩阵当且仅当对所有不为零的

（或

），都有：

3.半正定矩阵

是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的

（或

），都有：

4.半负定矩阵

是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的

（或

），都有：

正定阵的判别[编辑]

对n×n的埃尔米特矩阵M，下列性质与“M为正定矩阵”等价：

1.	矩阵的所有的特征值都是正的。根据谱定理，M必然与一个实对角矩阵D相似（也就是说，其中P是幺正矩阵，或者说M在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。
2.	半双线性形式定义了一个Cⁿ上的内积。实际上，所有Cⁿ上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。
3.	M是n个线性无关的k维向量的Gram矩阵，其中的k为某个正整数。更精确地说，M定义为：换句话说，M具有的形式，其中A不一定是方阵，但需要是单射的。
4.	M的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：左上角1×1的矩阵左上角2×2矩阵 ... 自身。对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
5.	存在唯一的下三角矩阵，其主对角线上的元素全是正的，使得： . 其中是的共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的

改为

，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

若

为半正定阵，可以写作

。如果

是正定阵，可以写作

。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，

、

，

当且仅当

。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义

。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果那么。
2.	如果是正定阵，为正实数，那么也是正定阵。如果、是正定阵，那么和、乘积与都是正定的。如果，那么仍是正定阵。
3.	如果那么主对角线上的系数为正实数。于是有。此外还有
4.	矩阵是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵使得。根据其唯一性可以记作，称为的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果那么 .
5.	如果那么，其中表示克罗内克乘积。
6.	对矩阵，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为，即，称为与的阿达马乘积。如果，那么。如果为实系数矩阵，则有如下不等式成立：
7.	设，为埃尔米特矩阵。如果（），那么（）。
8.	如果为实系数矩阵，则。
9.	如果为实系数矩阵，那么存在使得，其中为单位矩阵。