傅里叶分析讲解三

引用：https://www.jianshu.com/p/f5a89d76eb28

上一篇中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后得到了在周期为

的傅里叶级数的系数解，那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢？

我们先看在周期为

的函数傅里叶级数表达:

其对应的解为：

如何将其变为任意周期的函数呢？

其实这里只需要简单的换元操作即可。
举个栗子:

其周期为

,

。我们令 

,则

,整理下:

所以在对于t来说就变换成了周期为

的函数。
so对于周期为

（方便计算）的函数f(t) 只需令 

带入原周期为

的函数即可：

同样的可以得到：

最后我们得到:

过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。

2 傅里叶级数的复数形式

我们在写一下傅里叶级数的公式：

其中T代表函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是:

想要得到傅里叶级数的复数形式，需要先了解下欧拉公式。
关于欧拉公式，网上有很多的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。
我们先看下公式：

可以看作是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是

，到虚轴的投影是

，其中

便是向量与实轴的夹角。

 

image.png

 

而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动

 

 

欧拉公式.gif

随着

变化，

就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。

而且通过欧拉公式，我们可以得到三角函数的复数形式：

将上面的复变三角函数替换傅里叶级数中的三角函数得到:

我们令

中的n为-n
则得到：

所以可以看到n的范围变成了

 到 

，并且每一项都有

，于是我们可以得到一个漂亮的形式：

其中

分为3中情况：

我们将傅里叶级数之前的解带入上边

当n=0的时候：

的时候

这里因为cos是偶函数，sin是奇函数所以：

当 

的时候

可以惊奇的发现，三种情况的解是一样的。所以对于任意周期函数，我们都可以写成:

但其中的每一项是什么意思呢？
还记得之前说的

的本质吗？在圆上做圆周运动，那么

也是在做周期运动了。那

又是什么呢？
我们知道

，所以我们可以把

 看成是以

为单位的频率(正常来讲频率是

)。而系数

是就可以看成是几倍的基频，正数是逆时针运动，负数就是顺时针运动。在图形上的反应就是，频率越高，转的越快了
，但其最小公共周期是一样的。
1倍基频

 

1倍频.gif

 

 

 

10倍基频

 

10倍频.gif

那么系数

怎么理解呢？前面说过

的系数a是代表

运动的圆半径，这里

是复数是不是也能这样理解呢？其实粗糙来讲是可以这样理解的。
看个图，只管的理解下把

 

gif1.gif

 

上图中红色的向量相对于蓝色的向量只是多了系数

,所以红色向量运动的半径就是2刚好是复数

的模长乘以1，当然除此之外，红色向量的幅角也变大了些。这些都是因为复数的乘法性质---复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。
这下，当有人和你说傅里叶变换是把时域变换到频域上，你应该就很容易理解是什么意思了。频域就是1倍，2倍，3倍.......的

,而每个 

都有自己的幅长

,当把这些所有的

相加，就得到时域中的图像。

更加生动有趣的介绍可以参见傅里叶分析之掐死教程，我这里是从数学的角度来介绍傅里叶变换。

3 推广到非周期函数上

目前该证明的都差不多了，还有最后一个任务，就是推广到非周期函数上。对于非周期函数，我们可以看成是周期无限远的函数，那也就是周期T变成

的时候傅里叶级数。随则T的变大

也就不断的减小，当T趋近于 

的时候，

也由

变成了

，那么很自然就需要对

 做积分。

我们先看下

的时候 我们可以得到：

将这些带入 傅里叶级数,并且T趋近于

，就得到:

其中画红圈的地方就是傅里叶变换

 

image.png

一般写成一个关于的函数，其实就相当于前面的:

 

而整个公式就是傅里叶逆变换，写成：

来源：https://www.cnblogs.com/Sweepingmonk/p/11582386.html