单源最短路算法Dijkstra
思路：每次寻找距离原点最近的点，通过该点松弛其他的点。
变量
m为边数，n为点数，dis[i]表示从1到点i的最短路径，book[i]表示点1到点i的路程是否最短，e为邻接矩阵，min和u之后才用到
int m, n, dis[N], book[N], e[N][N] min, u;
初始化+读入
读入n,m不再赘述
scanf("%d %d", &n, &m);
一开始所有点都初始化为INF表示互不相连，i==j时自己连向自己，路程为0
//初始化点i到j的距离为INF 自己到自己为0
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (i == j)
e[i][j] = 0;
else
e[i][j] = INF;
}
读入m条边 将数组e[a][b]的值赋值为权重c
//读入
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
e[a][b] = c;
}
因为e表示i到j的路程，dis表示从1到i的路程。
所以dis[i]初始化时等于e[1][i]
就是 从1到i的路程 (dis[i]) 等于 从1到 i (e[1][i]) 的路程 翻译成人话就是完全一样的东西，但仅仅是初始化时
book数组0表示还未松弛，1表示松弛完毕即已经找到最短路径
book[1]表示点1到点1是否需要松弛，当然不用啊，所以book[1]=1;
//初始化dis[i]为1到i的距离 顺便初始化book 1为已确定最短路 0为待松弛
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dis[i] = e[1][i];
book[i] = 0;//初始化所有点为待松弛
}
book[1] = 1;//自己不用松弛
算法思路
dijkstra主要分3步
1.找到目前距离1号点最近的点，记作点u
2.遍历点u联通的所有点，记作点v
3.如果从1直接到点v的距离 大于 从点1到点u再到点v的距离，更新1到v的最短距离
如图 点1直接到点v的距离比从点u中转要大，所以要松弛点1到v的距离
算法具体代码实现
1.找距离点1最近的点
先将最小值赋值为INF
min = INF;
先遍历所有点，如果这个点待松弛，即book[j]==0，并且是最小值，那我们更新最小值，然后用变量把最小点的编号记下来
for (int j = 1; j <= n; j++) { //遍历
if (book[j] == 0 && dis[j] < min) { //如果此点待松弛并且点1到点j的距离小于min
min = dis[j]; //更新min
u = j; //更新离1号点最近的点的编号
}
}
2.遍历所有与点u相连的点
一个for循环搞定
for (int v = 1; v <= n; v++)
3.核心语句 松弛点1到点v的距离
/**** 如果目前离点1最近的点与点i联通(权小于INF) 并且 点1到点i的距离大于<点1到u再从u到i的距离> ****/
if (e[u][v]<INF && dis[v] > dis[u] + e[u][v]) {
dis[v] = dis[u] + e[u][v]; //更新最小距离
}
如果u和v不相连，那e[u][v]就是INF，下面这句是判断u和v是否相连
e[u][v]<INF
dis[v]表示1到点v的距离 下图1>>>v，dis[u]表示点1到点u的距离 下图1>>>u，e[u][v]表示点u到v的距离下图u>>v
dis[v] > dis[u] + e[u][v]
所以这句话就是比较 1>>>v 和 1>>>u>>>v 那个小 ，我们求的是最短路，当然那个短要哪个。
dis[v] = dis[u] + e[u][v]; //更新最小距离
更新点 1>>>v 的值为 1>>>u>>>v
所以上面的代码翻译过来就是：
如果点u与点v相连，并且从点u中转比直接1到v要短。
更新点1到v的距离为从点u中转的距离（之前要么是INF，即不相连，要么是点1直接到v的距离）
if (e[u][v]<INF && dis[v] > dis[u] + e[u][v]) {
dis[v] = dis[u] + e[u][v]; //更新最小距离
}
然后这个点松弛完了我们要将他的book从0（未松弛）变成1（松弛完毕）
book[u] = 1;
以上是松弛了一个点，但我们要松弛所有点，就是找到所有点的最短路径。
我们一共有n个点，除去点1还有n-1个点，所以在外面套一个for循环就OK了
for (int a = 1; a <= n - 1; a++)//a在这就是个计数的
dijkstra算法代码如下
void dijksrat() {
for (int a = 1; a <= n - 1; a++) { //第一步
min = INF;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (book[j] == 0 && dis[j] < min) {
min = dis[j];
u = j;
}
}
for (int v = 1; v <= n; v++) { //第二步
if (e[u][v]<INF && dis[v] > dis[u] + e[u][v]) {//第三步
dis[v] = dis[u] + e[u][v];
}
}
book[u] = 1;//标记
}
return;
}
单源最短路算法完整代码：
//关闭VS安全检查#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 1001
#define INF 23333
int m, dis[N], book[N], e[N][N], n, min, u;
void dijksrat() {
for (int a = 1; a <= n - 1; a++) { //将边松弛n-1次即可得到最短路径
min = INF;
//找到1号点最近的点
for (int j = 1; j <= n; j++) { //遍历
if (book[j] == 0 && dis[j] < min) { //如果此点待松弛并且点1到点j的距离小于min
min = dis[j]; //更新min
u = j; //更新离1号点最近的点的编号
}
}
for (int v = 1; v <= n; v++) { //遍历所有点
/**** 如果目前离点1最近的点与点i联通(权小于INF) 并且 点1到点i的距离大于<点1到u再从u到i的距离> ****/
if (e[u][v]<INF && dis[v] > dis[u] + e[u][v]) {
dis[v] = dis[u] + e[u][v]; //更新最小距离
}
} book[u] = 1;
}
return;
}
int main()
{
scanf("%d %d", &n, &m);
//初始化点i到j的距离为INF 自己到自己为0
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (i == j)
e[i][j] = 0;
else
e[i][j] = INF;
}
//读入
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
e[a][b] = c;
}
//初始化dis[i]为1到i的距离 顺便初始化book 1为已确定最短路 0为待松弛
for (int i = 1; i <= n; i++) {
dis[i] = e[1][i];
book[i] = 0;//初始化所有点为待松弛
}
book[1] = 1;//自己不用松弛
dijksrat();
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%3d", dis[i]);
return 0;
}