高等数学下册学习笔记（一）

今天开始学高等数学下，每天做下总结，并顺便练习下写markdown

数量积

• $a \cdot b = |a| |b| cos \theta = |a| Prj_ab$

Prj_ab为向量b在向量a方向的投影

• a $\cdot$ b = 0 是 a ⊥ b 的充要条件
• 数量积满足交换律、结合律和分配率
• 由数量积推导的两向量夹角余弦坐标表示式：
  $cos \theta = \frac{a_xb_x + a_yb_y~ + a_zb_z} {\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$

向量积

• $c = a \times b$

c为垂直于向量a和向量b所构成平面的向量，利用行列式计算

• a $\times$ b = 0 是 a ∥ b 的充要条件
• 向量积满足交换律、结合律和分配率

平面方程

法线向量 n = ( A , B , C ) ；平面上一已知点 M₀( x₀ , y₀ ,z₀ ) ；平面上任意一点 M( x , y , z )

• 一般式：Ax + By + Cz + D = 0

• 当D = 0 时，平面通过原点
• 当A/B/C = 0 时，法线向量垂直于x/y/z轴，平面平行（或包含）x/y/z轴

• 点法式：A ( x - x₀ ) + B ( y - y₀ ) + C ( z - z₀ ) = 0
• 截距式：$\frac xa + \frac yb + \frac zc = 1$

a、b、c分别为平面于x、y、z轴焦点到原点的距离（截距）

• 两平面夹角公式：
  $cos \theta = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|} {\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

• 当 $|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2| = 0$ 时两平面垂直
• 当 $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ 时两平面平行或重合

• 已知三点A、B、C坐标，$\vec{AB} \times \vec{AC}$ 即为法向量
• 点到平面距离公式：
  $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A² + B² + C²}}$

来源：CSDN

作者：矢泽惜

链接：https://blog.csdn.net/qq_41608105/article/details/103238851